![]() |
A P. 5438. feladat (2022. november) |
P. 5438. Egy spanyol gazdaságban a képen látható olajbogyópréssel törik péppé a bogyókat. A 90 cm átmérőjű zúzókerék tisztán gördülő síkja, amit az ábrán szaggatott vonal jelez, a tengelytől 75 cm távolságban van. A csacsi farka a tengelytől 180 cm távolságban verdesi a rudat, miközben az állat 2,4 m/s sebességgel körbe-körbe fut. A zúzókerékre egy 1 g tömegű olajbogyó ragad.
a) Mekkora az olajbogyó sebessége, amikor a felső A pontba ér?
b) Mekkora a olajbogyó gyorsulása az A pontban?
c) Mekkora és milyen irányú eredő erőt fejt ki a zúzókerék az olajbogyóra a legfelső A pontban?
Közli: Baranyai Klára, Veresegyház
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. a) A kerék tengelyeként szolgáló rúd egyenletesen forog körbe, pontjainak kerületi sebessége a tengelytől mért távolságukkal arányos. Ezért a megadott adatok alapján a kerék középpontja
vkp=75cm180cm⋅2,4ms=1ms
sebességgel halad. Mivel a kerék tisztán gördül, a legfelső A pont a középpont sebességének kétszeresével mozog, tehát az olajbogyó sebessége:
vA=2ms.
Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt. A vízszintes rúd
Ω=2,4 m/s1,8 m=43 1 s
szögsebességgel forog körbe, így a függőleges tengelytől R=0,75 m távolságra lévő zúzókerék középpontja
vkp=RΩ=1 ms
sebességgel halad. Az r=0,45 m sugarú zúzókerék ω szögsebességgel forog a vízszintes rúd körül, tehát az olajbogyó sebessége a kerék középpontjához képest rω. A zúzókerék legalsó pontjának sebessége nulla, emiatt
RΩ−rω=0,azazrω=RΩ=vkp=1ms.
Az A pontban tehát az olajbogyó sebessége
vA=RΩ+rω=2RΩ=2ms.
b) Az olajbogyó gyorsulásának kiszámítása nehezebb feladat. A bogyó mozgása – mint már leírtuk – két egyenletes körmozgásból tehető össze. A zúzókerék középpontja a függőleges tengely körül Ω szögsebességgel forog, a gyorsulása (arúd) tehát RΩ2, iránya vízszintes és a tengely felé mutat. Az olajbogyó a zúzókerék középpontja körül ω szögsebességű, r sugarú körpályán mozog, ehhez a mozgáshoz függőlegesen lefelé irányuló, rω2 nagyságú (akerék) gyorsulás tartozik. Az olajbogyó teljes a gyorsulása a talajhoz rögzített inerciarendszerben nem egyszerűen arúd+akerék, hanem ehhez még egy harmadik tag, az ún. Coriolis-gyorsulás is hozzáadódik (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok Tehetetlenségi erők alpontját). Azy Ω szögsebességgel forgó rendszerben a rendszerhez képest v sebességgel mozgó test Coriolis-gyorsulása
aCoriolis=2Ω×v.
Esetünkben Ω függőlegesen felfelé mutató Ω nagyságú vektor, v a kerék középpontjának pillanatnyi sebességével párhuzamos, vízszintes vektor. Ezek szerint a Coriolis-gyorsulás nagysága
aCoriolis=2rωΩ=2RΩ2,
iránya a rúddal párhuzamos és a függőleges tengely felé mutat.
Megjegyzés. 1. A Coriolis-gyorsulás szerepét jól illusztrálja a következő példa. Ha egy Ω szögsebességgel forgó korongon a forgástengelytől R távolságban, a koronghoz képest v sebességgel körpályán mozog egy test, akkor a sebessége az inerciarendszerben RΩ+v, a gyorsulása pedig
a=v2teljesR=(RΩ+v)2R=RΩ2+v2R+2vΩ.
A jobb oldal első tagja a korong pontjainak centripetális gyorsulása, a második tag a koronghoz viszonyított mozgás centripetális gyorsulása, a harmadik pedig a Coriolis-gyorsulás.
Az olajbogyó teljes gyorsulása végül:
ateljes=arúd+akerék+aCoriolis,
amelynek vízszintes (,,befelé'' mutató) komponense
abe=RΩ2+2RΩ2=3RΩ2=4,0 ms2,
függőleges (lefelé mutató) összetevője
ale=rω2=2,22 ms2,
a gyorsulásvektor nagysága pedig
ateljes=√a2be+a2le=4,58 ms2.
c) Az olajbogyóra két erő hat: az mg nagyságú nehézségi erő és a kerék felülete által kifejtett F erő, melynek vízszintes komponense Fbe, függőleges komponense Ffel. A mozgásegyenletek:
mg−Ffel=male,→Ffel=m(g−ale)=7,59⋅10−3 N,
illetve
Fbe=mabe=4,00⋅10−3 N.
Az erő nagysága
F=√F2fel+F2be=8,58⋅10−3 N,
a vízszintessel bezárt szöge
α=arctgFfelFbe=62,2∘.
II. megoldás. Az olajbogyó sebességét és gyorsulását a tehetetlenségi erők (a Coriolis erő és a centrifugális erő) elkerülésével is kiszámíthatjuk, ha mindvégig a talajhoz képest álló inerciarendszerben számolunk.
Az ábrán látható derékszögű koordináta-rendszerben a kerék K középpontjának koordinátái az olajbogyó A ponton való áthaladását követő t idő elteltével:
rK=(RcosΩt,RsinΩt,r).
Ennyi idő alatt a zúzókerék síkja Ωt szöggel fordult el a függőleges tengely körül, a kerék rúd körüli elfordulása pedig ωt. Ez utóbbi miatt az olajbogyó P pontja rsinωt távolságra kerül az A ponton átmenő függőleges egyenestől. Az ábráról leolvasható, hogy az olajbogyó koordinátái:
x(t)=RcosΩt−rsinΩt⋅sinωt,
y(t)=RsinΩt+rcosΩt⋅sinωt,
z(t)=r(1+cosωt).
Az x(t) függvény a
sinαsinβ=12cos(α−β)−12cos(α+β)
azonosság felhasználásával így is felírható:
x(t)=RcosΩt+r2cos(Ω+ω)t−r2cos(Ω−ω)t.
Ez három koszinuszos függvény összege, éppen olyanoké, mint amilyenek a kezdősebesség nélkül induló harmonikus rezgőmozgást írják le. Az analógia alapján a P pont x tengely irányú gyorsulása t=0 pillanatban:
ax(0)=−RΩ2−r2(Ω+ω)2+r2(Ω−ω)2=−RΩ2−2rωΩ=−3RΩ2.
Hasonlóan olvashatjuk le, hogy
vy(0)=2RΩ,ay(0)=0,
továbbá
vz(0)=0,az(0)=−rω2.
Megjegyzés. Hasonló módon számíthatjuk ki az olajbogyó gyorsulását abban a pillanatban, amikor az A-val átellenes helyzetben van (feltételezve, hogy még ott is hozzátapad a zúzókerékhez). Meglepő módon azt kapjuk, hogy a pálya legalsó pontjánál (vagyis ott, ahol az olajbogyó sebessége nulla) a vízszintes irányú gyorsulása +RΩ2, tehát ,,kifelé'' gyorsulna. Ennek szemléletes magyarázata az, hogy az olajbogyó pályája nem egy R sugarú hengerpaláston történik, hanem egy R és egy √R2+r2 sugarú henger között megy végbe. A bogyó bizonyos helyzetekben egyre jobban eltávolodik a függőleges tengelytől, emiatt lehet kifelé irányuló sebessége és gyorsulása is.
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek. 4 pontot kapott: Bodré Zalán, Csiszár András, Elekes Dorottya, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Masa Barnabás, Szanyi Attila, Vincze Farkas Csongor. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai
|