Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5438. feladat (2022. november)

P. 5438. Egy spanyol gazdaságban a képen látható olajbogyópréssel törik péppé a bogyókat. A 90 cm átmérőjű zúzókerék tisztán gördülő síkja, amit az ábrán szaggatott vonal jelez, a tengelytől 75 cm távolságban van. A csacsi farka a tengelytől 180 cm távolságban verdesi a rudat, miközben az állat 2,4 m/s sebességgel körbe-körbe fut. A zúzókerékre egy 1 g tömegű olajbogyó ragad.

a) Mekkora az olajbogyó sebessége, amikor a felső A pontba ér?

b) Mekkora a olajbogyó gyorsulása az A pontban?

c) Mekkora és milyen irányú eredő erőt fejt ki a zúzókerék az olajbogyóra a legfelső A pontban?

Közli: Baranyai Klára, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.


I. megoldás. a) A kerék tengelyeként szolgáló rúd egyenletesen forog körbe, pontjainak kerületi sebessége a tengelytől mért távolságukkal arányos. Ezért a megadott adatok alapján a kerék középpontja

vkp=75cm180cm2,4ms=1ms

sebességgel halad. Mivel a kerék tisztán gördül, a legfelső A pont a középpont sebességének kétszeresével mozog, tehát az olajbogyó sebessége:

vA=2ms.

Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt. A vízszintes rúd

Ω=2,4 m/s1,8 m=43 1 s

szögsebességgel forog körbe, így a függőleges tengelytől R=0,75 m távolságra lévő zúzókerék középpontja

vkp=RΩ=1 ms

sebességgel halad. Az r=0,45 m sugarú zúzókerék ω szögsebességgel forog a vízszintes rúd körül, tehát az olajbogyó sebessége a kerék középpontjához képest rω. A zúzókerék legalsó pontjának sebessége nulla, emiatt

RΩrω=0,azazrω=RΩ=vkp=1ms.

Az A pontban tehát az olajbogyó sebessége

vA=RΩ+rω=2RΩ=2ms.

b) Az olajbogyó gyorsulásának kiszámítása nehezebb feladat. A bogyó mozgása – mint már leírtuk – két egyenletes körmozgásból tehető össze. A zúzókerék középpontja a függőleges tengely körül Ω szögsebességgel forog, a gyorsulása (arúd) tehát RΩ2, iránya vízszintes és a tengely felé mutat. Az olajbogyó a zúzókerék középpontja körül ω szögsebességű, r sugarú körpályán mozog, ehhez a mozgáshoz függőlegesen lefelé irányuló, rω2 nagyságú (akerék) gyorsulás tartozik. Az olajbogyó teljes a gyorsulása a talajhoz rögzített inerciarendszerben nem egyszerűen arúd+akerék, hanem ehhez még egy harmadik tag, az ún. Coriolis-gyorsulás is hozzáadódik (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok Tehetetlenségi erők alpontját). Azy Ω szögsebességgel forgó rendszerben a rendszerhez képest v sebességgel mozgó test Coriolis-gyorsulása

aCoriolis=2Ω×v.

Esetünkben Ω függőlegesen felfelé mutató Ω nagyságú vektor, v a kerék középpontjának pillanatnyi sebességével párhuzamos, vízszintes vektor. Ezek szerint a Coriolis-gyorsulás nagysága

aCoriolis=2rωΩ=2RΩ2,

iránya a rúddal párhuzamos és a függőleges tengely felé mutat.

Megjegyzés. 1. A Coriolis-gyorsulás szerepét jól illusztrálja a következő példa. Ha egy Ω szögsebességgel forgó korongon a forgástengelytől R távolságban, a koronghoz képest v sebességgel körpályán mozog egy test, akkor a sebessége az inerciarendszerben RΩ+v, a gyorsulása pedig

a=v2teljesR=(RΩ+v)2R=RΩ2+v2R+2vΩ.

A jobb oldal első tagja a korong pontjainak centripetális gyorsulása, a második tag a koronghoz viszonyított mozgás centripetális gyorsulása, a harmadik pedig a Coriolis-gyorsulás.

Az olajbogyó teljes gyorsulása végül:

ateljes=arúd+akerék+aCoriolis,

amelynek vízszintes (,,befelé'' mutató) komponense

abe=RΩ2+2RΩ2=3RΩ2=4,0 ms2,

függőleges (lefelé mutató) összetevője

ale=rω2=2,22 ms2,

a gyorsulásvektor nagysága pedig

ateljes=a2be+a2le=4,58 ms2.

c) Az olajbogyóra két erő hat: az mg nagyságú nehézségi erő és a kerék felülete által kifejtett F erő, melynek vízszintes komponense Fbe, függőleges komponense Ffel. A mozgásegyenletek:

mgFfel=male,Ffel=m(gale)=7,59103 N,

illetve

Fbe=mabe=4,00103 N.

Az erő nagysága

F=F2fel+F2be=8,58103 N,

a vízszintessel bezárt szöge

α=arctgFfelFbe=62,2.

II. megoldás. Az olajbogyó sebességét és gyorsulását a tehetetlenségi erők (a Coriolis erő és a centrifugális erő) elkerülésével is kiszámíthatjuk, ha mindvégig a talajhoz képest álló inerciarendszerben számolunk.

Az ábrán látható derékszögű koordináta-rendszerben a kerék K középpontjának koordinátái az olajbogyó A ponton való áthaladását követő t idő elteltével:

rK=(RcosΩt,RsinΩt,r).

Ennyi idő alatt a zúzókerék síkja Ωt szöggel fordult el a függőleges tengely körül, a kerék rúd körüli elfordulása pedig ωt. Ez utóbbi miatt az olajbogyó P pontja rsinωt távolságra kerül az A ponton átmenő függőleges egyenestől. Az ábráról leolvasható, hogy az olajbogyó koordinátái:

x(t)=RcosΩtrsinΩtsinωt,

y(t)=RsinΩt+rcosΩtsinωt,

z(t)=r(1+cosωt).

Az x(t) függvény a

sinαsinβ=12cos(αβ)12cos(α+β)

azonosság felhasználásával így is felírható:

x(t)=RcosΩt+r2cos(Ω+ω)tr2cos(Ωω)t.

Ez három koszinuszos függvény összege, éppen olyanoké, mint amilyenek a kezdősebesség nélkül induló harmonikus rezgőmozgást írják le. Az analógia alapján a P pont x tengely irányú gyorsulása t=0 pillanatban:

ax(0)=RΩ2r2(Ω+ω)2+r2(Ωω)2=RΩ22rωΩ=3RΩ2.

Hasonlóan olvashatjuk le, hogy

vy(0)=2RΩ,ay(0)=0,

továbbá

vz(0)=0,az(0)=rω2.

Megjegyzés. Hasonló módon számíthatjuk ki az olajbogyó gyorsulását abban a pillanatban, amikor az A-val átellenes helyzetben van (feltételezve, hogy még ott is hozzátapad a zúzókerékhez). Meglepő módon azt kapjuk, hogy a pálya legalsó pontjánál (vagyis ott, ahol az olajbogyó sebessége nulla) a vízszintes irányú gyorsulása +RΩ2, tehát ,,kifelé'' gyorsulna. Ennek szemléletes magyarázata az, hogy az olajbogyó pályája nem egy R sugarú hengerpaláston történik, hanem egy R és egy R2+r2 sugarú henger között megy végbe. A bogyó bizonyos helyzetekben egyre jobban eltávolodik a függőleges tengelytől, emiatt lehet kifelé irányuló sebessége és gyorsulása is.


Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bencz Benedek.
4 pontot kapott:Bodré Zalán, Csiszár András, Elekes Dorottya, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Masa Barnabás, Szanyi Attila, Vincze Farkas Csongor.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai