A P. 5438. feladat (2022. november)

P. 5438. Egy spanyol gazdaságban a képen látható olajbogyópréssel törik péppé a bogyókat. A 90 cm átmérőjű zúzókerék tisztán gördülő síkja, amit az ábrán szaggatott vonal jelez, a tengelytől 75 cm távolságban van. A csacsi farka a tengelytől 180 cm távolságban verdesi a rudat, miközben az állat 2,4 m/s sebességgel körbe-körbe fut. A zúzókerékre egy 1 g tömegű olajbogyó ragad.

$\displaystyle a)$ Mekkora az olajbogyó sebessége, amikor a felső $\displaystyle A$ pontba ér?

$\displaystyle b)$ Mekkora a olajbogyó gyorsulása az $\displaystyle A$ pontban?

$\displaystyle c)$ Mekkora és milyen irányú eredő erőt fejt ki a zúzókerék az olajbogyóra a legfelső $\displaystyle A$ pontban?

Közli: Baranyai Klára, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. $\displaystyle a)$ A kerék tengelyeként szolgáló rúd egyenletesen forog körbe, pontjainak kerületi sebessége a tengelytől mért távolságukkal arányos. Ezért a megadott adatok alapján a kerék középpontja

$\displaystyle v_{\rm{kp}}=\frac{75\,\rm{cm}}{180\,\rm{cm}}\cdot2{,}4\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=1\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}$

sebességgel halad. Mivel a kerék tisztán gördül, a legfelső $\displaystyle A$ pont a középpont sebességének kétszeresével mozog, tehát az olajbogyó sebessége:

$\displaystyle v_A = 2\,\frac{\rm m}{\rm s}.$

Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt. A vízszintes rúd

$\displaystyle \Omega=\dfrac{2{,}4~\rm m/s}{1{,}8~\rm m}=\frac 43~\frac1{\rm ~s}$

szögsebességgel forog körbe, így a függőleges tengelytől $\displaystyle R=0{,}75~\rm m$ távolságra lévő zúzókerék középpontja

$\displaystyle v_\text{kp}=R\Omega=1~\dfrac{\rm m}{\rm s}$

sebességgel halad. Az $\displaystyle r=0{,}45~\rm m$ sugarú zúzókerék $\displaystyle \omega$ szögsebességgel forog a vízszintes rúd körül, tehát az olajbogyó sebessége a kerék középpontjához képest $\displaystyle r\omega$. A zúzókerék legalsó pontjának sebessége nulla, emiatt

$\displaystyle R\Omega-r\omega=0, \qquad \text{azaz}\qquad r\omega=R\Omega= v_\text{kp}= 1\,\frac{\rm m}{\rm s}.$

Az $\displaystyle A$ pontban tehát az olajbogyó sebessége

$\displaystyle v_A =R\Omega+r\omega= 2R\Omega=2\,\frac{\rm m}{\rm s}.$

$\displaystyle b)$ Az olajbogyó gyorsulásának kiszámítása nehezebb feladat. A bogyó mozgása – mint már leírtuk – két egyenletes körmozgásból tehető össze. A zúzókerék középpontja a függőleges tengely körül $\displaystyle \Omega$ szögsebességgel forog, a gyorsulása ($\displaystyle \boldsymbol a_\text{rúd}$) tehát $\displaystyle R\Omega^2$, iránya vízszintes és a tengely felé mutat. Az olajbogyó a zúzókerék középpontja körül $\displaystyle \omega$ szögsebességű, $\displaystyle r$ sugarú körpályán mozog, ehhez a mozgáshoz függőlegesen lefelé irányuló, $\displaystyle r\omega^2$ nagyságú ($\displaystyle \boldsymbol a_\text{kerék}$) gyorsulás tartozik. Az olajbogyó teljes $\displaystyle \boldsymbol a$ gyorsulása a talajhoz rögzített inerciarendszerben nem egyszerűen $\displaystyle \boldsymbol a_\text{rúd}+\boldsymbol a_\text{kerék}$, hanem ehhez még egy harmadik tag, az ún. Coriolis-gyorsulás is hozzáadódik (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok Tehetetlenségi erők alpontját). Azy $\displaystyle \boldsymbol\Omega$ szögsebességgel forgó rendszerben a rendszerhez képest $\displaystyle \boldsymbol v$ sebességgel mozgó test Coriolis-gyorsulása

$\displaystyle \boldsymbol a_\text{Coriolis}=2 \boldsymbol\Omega \times\boldsymbol v.$

Esetünkben $\displaystyle \boldsymbol\Omega$ függőlegesen felfelé mutató $\displaystyle \Omega$ nagyságú vektor, $\displaystyle \boldsymbol v$ a kerék középpontjának pillanatnyi sebességével párhuzamos, vízszintes vektor. Ezek szerint a Coriolis-gyorsulás nagysága

$\displaystyle a_\text{Coriolis}=2r\omega\Omega=2R\Omega^2,$

iránya a rúddal párhuzamos és a függőleges tengely felé mutat.

Megjegyzés. 1. A Coriolis-gyorsulás szerepét jól illusztrálja a következő példa. Ha egy $\displaystyle \Omega$ szögsebességgel forgó korongon a forgástengelytől $\displaystyle R$ távolságban, a koronghoz képest $\displaystyle v$ sebességgel körpályán mozog egy test, akkor a sebessége az inerciarendszerben $\displaystyle R\Omega+v$, a gyorsulása pedig

$\displaystyle a=\frac{v_\text{teljes}^2}{R}=\frac{(R\Omega+v)^2}{R}=R\Omega^2+\frac{v^2}{R}+2v\Omega.$

A jobb oldal első tagja a korong pontjainak centripetális gyorsulása, a második tag a koronghoz viszonyított mozgás centripetális gyorsulása, a harmadik pedig a Coriolis-gyorsulás.

Az olajbogyó teljes gyorsulása végül:

$\displaystyle \boldsymbol a_\text{teljes}=\boldsymbol a_\text{rúd}+\boldsymbol a_\text{kerék} +\boldsymbol a_\text{Coriolis},$

amelynek vízszintes (,,befelé'' mutató) komponense

$\displaystyle a_\text{be}=R\Omega^2+2R\Omega^2=3R\Omega^2=4{,}0~\frac{\rm m}{\rm s^2},$

függőleges (lefelé mutató) összetevője

$\displaystyle a_\text{le}=r\omega^2=2{,}22~\frac{\rm m}{\rm s^2},$

a gyorsulásvektor nagysága pedig

$\displaystyle a_\text{teljes}=\sqrt{a^2_\text{be}+a^2_\text{le}}= 4{,}58~\frac{\rm m}{\rm s^2}.$

$\displaystyle c)$ Az olajbogyóra két erő hat: az $\displaystyle mg$ nagyságú nehézségi erő és a kerék felülete által kifejtett $\displaystyle \boldsymbol F$ erő, melynek vízszintes komponense $\displaystyle F_\text{be}$, függőleges komponense $\displaystyle F_\text{fel}$. A mozgásegyenletek:

$\displaystyle mg-F_\text{fel}=ma_\text{le}, \qquad \rightarrow \qquad F_\text{fel}=m(g-a_\text{le})=7{,}59\cdot 10^{-3}~\rm N,$

illetve

$\displaystyle F_\text{be}=ma_\text{be}=4{,}00\cdot 10^{-3}~\rm N.$

Az erő nagysága

$\displaystyle F=\sqrt{F^2_\text{fel}+F^2_\text{be}}=8{,}58\cdot 10^{-3}~\rm N,$

a vízszintessel bezárt szöge

$\displaystyle \alpha=\arctg\dfrac{F_\text{fel}}{F_\text{be}} =62{,}2^\circ.$

II. megoldás. Az olajbogyó sebességét és gyorsulását a tehetetlenségi erők (a Coriolis erő és a centrifugális erő) elkerülésével is kiszámíthatjuk, ha mindvégig a talajhoz képest álló inerciarendszerben számolunk.

Az ábrán látható derékszögű koordináta-rendszerben a kerék $\displaystyle K$ középpontjának koordinátái az olajbogyó $\displaystyle A$ ponton való áthaladását követő $\displaystyle t$ idő elteltével:

$\displaystyle \boldsymbol r_K=(R\cos\Omega t, R\sin\Omega t, r).$

Ennyi idő alatt a zúzókerék síkja $\displaystyle \Omega t$ szöggel fordult el a függőleges tengely körül, a kerék rúd körüli elfordulása pedig $\displaystyle \omega t$. Ez utóbbi miatt az olajbogyó $\displaystyle P$ pontja $\displaystyle r\sin \omega t$ távolságra kerül az $\displaystyle A$ ponton átmenő függőleges egyenestől. Az ábráról leolvasható, hogy az olajbogyó koordinátái:

$\displaystyle x(t)=R\cos\Omega t-r\sin\Omega t\cdot \sin \omega t,$

$\displaystyle y(t)=R\sin\Omega t+r\cos\Omega t\cdot \sin \omega t,$

$\displaystyle z(t)=r(1+\cos\omega t).$

Az $\displaystyle x(t)$ függvény a

$\displaystyle \sin\alpha\sin\beta=\tfrac12\cos(\alpha-\beta)- \tfrac12\cos(\alpha+\beta)$

azonosság felhasználásával így is felírható:

$\displaystyle x(t)=R\cos\Omega t+\frac{r}2\cos(\Omega+\omega)t-\frac{r}2\cos(\Omega-\omega)t.$

Ez három koszinuszos függvény összege, éppen olyanoké, mint amilyenek a kezdősebesség nélkül induló harmonikus rezgőmozgást írják le. Az analógia alapján a $\displaystyle P$ pont $\displaystyle x$ tengely irányú gyorsulása $\displaystyle t=0$ pillanatban:

$\displaystyle a_x(0)=-R\Omega^2-\frac{r}2 (\Omega+\omega)^2+\frac{r}2 (\Omega-\omega)^2= -R\Omega^2-2r\omega\Omega=-3R\Omega^2.$

Hasonlóan olvashatjuk le, hogy

$\displaystyle v_y(0)=2R\Omega,\qquad a_y(0)=0,$

továbbá

$\displaystyle v_z(0)=0,\qquad a_z(0)=-r\omega^2.$

Megjegyzés. Hasonló módon számíthatjuk ki az olajbogyó gyorsulását abban a pillanatban, amikor az $\displaystyle A$-val átellenes helyzetben van (feltételezve, hogy még ott is hozzátapad a zúzókerékhez). Meglepő módon azt kapjuk, hogy a pálya legalsó pontjánál (vagyis ott, ahol az olajbogyó sebessége nulla) a vízszintes irányú gyorsulása $\displaystyle +R\Omega^2$, tehát ,,kifelé'' gyorsulna. Ennek szemléletes magyarázata az, hogy az olajbogyó pályája nem egy $\displaystyle R$ sugarú hengerpaláston történik, hanem egy $\displaystyle R$ és egy $\displaystyle \sqrt{R^2+r^2}$ sugarú henger között megy végbe. A bogyó bizonyos helyzetekben egyre jobban eltávolodik a függőleges tengelytől, emiatt lehet kifelé irányuló sebessége és gyorsulása is.

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek.
4 pontot kapott:	Bodré Zalán, Csiszár András, Elekes Dorottya, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Masa Barnabás, Szanyi Attila, Vincze Farkas Csongor.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai