Problem P. 5441. (November 2022)

P. 5441. We have formed a circle from a piece of metal wire, and from the same wire we would like to to make one of the chords between the two points of the circle. Where should the chord be in order that the equivalent resistance between the two end points of the chord is maximum, and what is the value of this largest equivalent resistance? Let \(\displaystyle R\) be the resistance of a wire which has a length equal to the radius of the circle.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Három párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjéről van szó.

Ezek (az ábrán látható \(\displaystyle \varphi\) szöggel kifejezve)

\(\displaystyle R_1=2R\cos\varphi,\qquad R_2=R(\pi-2\varphi), \qquad R_3=R(\pi+2\varphi),\)

és

\(\displaystyle \frac1{R_\text{eredő}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}=\frac1{R}\left(\frac1{2\cos\varphi}+\frac{2\pi}{\pi^2-4\varphi^2}\right).\)

A fenti kifejezés zárójelében álló mindkét tört nevezője \(\displaystyle \varphi=0\)-nál a legnagyobb, a zárójeles kifejezés tehát \(\displaystyle \varphi=0\)-nál a legkisebb, értéke \(\displaystyle \frac12+\frac2\pi\). Ennek megfelelően az eredő ellenállás legnagyobb értéke

\(\displaystyle R_\text{eredő}^ \text{(max)}= \frac{2\pi}{4+\pi}R\approx 0{,}88\,R.\)

Statistics:

34 students sent a solution.
4 points:	Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csonka Illés, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Márton, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós.
3 points:	Chrobák Gergő, Flóring Balázs, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Szanyi Attila, Szécsényi-Nagy Rudolf.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, November 2022