Problem P. 5444. (November 2022)

P. 5444. A small charged ball can move frictionlessly along a long, thin, vertical, insulating rod. If an equally small body of the same charge is placed at the bottom of the rod, the moving ball will be in equilibrium at a height of \(\displaystyle h_0\). How far away from the rod in the horizontal direction can we move the lower body so that the ball on the rod can still be in equilibrium somewhere. What is the height of this is this position?

(6 pont)

Deadline expired on December 15, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Kiinduló helyzetben az elektromos taszítás tart egyensúlyt a rúdon lévő, \(\displaystyle Q\) töltésű test \(\displaystyle mg\) súlyával. Ennek megfelelően a testek feltételezett adataival kifejezve \(\displaystyle h_0=\sqrt{kQ^2/mg}\).

Egy általános helyzetben legyen \(\displaystyle d\) az alsó test távolsága a rúdtól, és jelölje \(\displaystyle h\) azt a magasságot, ahol a rúdon lévő test egyensúlyban van! Ekkor az eletromos erő függőleges komponense tart egyensúlyt a rúdon lévő test súlyával, tehát

\(\displaystyle \frac{kQ^2}{d^2+h^2}\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}=mg.\)

Ebből a testek adatait kiküszöbölve a

\(\displaystyle \frac{h h_0^2}{\left(h^2+d^2\right)^{3/2}}=1\)

egyenletet kapjuk, amit a következő alakra rendezünk:

\(\displaystyle \left(h^2+d^2\right)^{3}-\left(h^2+d^2\right)h_0^4+d^2h_0^4=0. \)

A könnyebb írásmód kedvéért legyen \(\displaystyle x=\left(h^2+d^2\right)\), tehát az egyenletünk

\(\displaystyle x^3-xh_0^4+d^2h_0^4=0.\)

Ez egy harmadfokú egyenlet, egy vagy három valós gyökkel. Elemezzük a bal oldalon álló függvény alakját! \(\displaystyle d=0\) esetén minden szimmetrikus, a gyökök pedig \(\displaystyle \pm h_0^2\) és \(\displaystyle 0\). \(\displaystyle d\)-t növelve két pozitív és egy negatív gyök adódik, de ez utóbbi nem fizikai megoldás, hiszen \(\displaystyle x>0\).

Egy bizonyos \(\displaystyle d_{\rm max}\) mellett a két pozitív gyök egybeesik, ha pedig \(\displaystyle d>d_{\rm max}\), az egyenletnek nincs pozitív megoldása. A \(\displaystyle d=d_{\rm max}\) esethez tartozó pozitív gyök legyen \(\displaystyle x_0\)! Ez egy kettős gyök, és mivel az összes gyök összege nulla (hiszen nincs kvadratikus tag az egyenletben) a harmadik gyök \(\displaystyle -2x_0\). Ennek megfelelően az

\(\displaystyle x^3-xh_0^4+d_{\rm max}^2h_0^4=0\)

egyenlet azonos az

\(\displaystyle (x-x_0)^2(x+2x_0)=x^3-3x_0^2 x+2x_0^3=0\)

egyenlettel. Ebből

\(\displaystyle 3x_0^2=h_0^4,\qquad \ \mbox{és}\qquad \ 2x_0^3=d_{\rm max}^2h_0^4,\)

azaz

\(\displaystyle d_{\rm max}=\sqrt[4]{\frac{4}{27}}h_0.\)

Ilyenkor

\(\displaystyle h=\sqrt[4]{\frac{1}{27}}h_0.\)

Megjegyzés. Bár a feladat paraméteres, numerikusan is megoldható. A harmadfokú egyenlet \(\displaystyle h_0^6\)-nal való osztásával a

\(\displaystyle \xi^3-\xi+(d/h_0)^2=0\)

egyenletre jutunk (ahol \(\displaystyle \xi=x/h_0^2\)). Ennek az egyenletnek akkor van pont egy pozitív megoldása, ha az

\(\displaystyle f(\xi)=\xi^3-\xi+(d/h_0)^2\)

függvény éppen érinti az \(\displaystyle f=0\) tengelyt. Az a \(\displaystyle \xi_0\) érték, ahol ez lehetséges (ahol az \(\displaystyle f(\xi)\)-nek lokális minimuma van) akár deriválással (\(\displaystyle \xi_0=1/\sqrt3\)), akár numerikusan \(\displaystyle (\xi_0\approx 0{,}58)\) megtalálható, és ebből a \(\displaystyle d_{\rm max}/h_0\) megkapható:

\(\displaystyle d_{\rm max}/h_0 = \sqrt{\xi_0-\xi_0^3}=\sqrt[4]{\frac{4}{27}}\approx 0{,}62. \)

Statistics:

27 students sent a solution.
6 points:	Bencz Benedek, Bodré Zalán, Brezina Gergely, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Elekes Dorottya, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Lévai Dominik Márk, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tatár Ágoston, Tóth Kolos Barnabás.
5 points:	Kovács Barnabás, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2022