 |
A P. 5446. feladat (2022. december) |
P. 5446. Két diák egy mutatványra készül. A sportpályán egymástól bizonyos \(\displaystyle d\) távolságra lévő focilabdákat egyszerre megrúgják úgy, hogy a labdák a levegőben találkozzanak. Az egyik diák \(\displaystyle v_1=20\) m/s, a másik \(\displaystyle v_2=10\) m/s sebességgel lövi el a labdát, de a kezdősebesség irányát szabadon megválaszthatják. Legfeljebb mekkora kezdeti \(\displaystyle d_{\max}\) távolságra lehet egymástól a két labda ahhoz, hogy a mutatvány sikerüljön?
(A légellenállás hatását hanyagoljuk el.)
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Ha a labdák kezdeti \(\displaystyle d\) távolsága a lehető legnagyobb, akkor a mutatvány még éppen sikerülhet, azaz a labdák közvetlenül a földet érés pillanata előtt találkoznak. A labdák azonos időt töltenek a levegőben, ezért a kezdeti sebességük függőleges komponense is megegyezik:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_{1y}=v_{2y}.\) |
A mozgás ideje a ferde hajítás képletei szerint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t=\frac{2v_{1y}}{g}.\) |
Ennek ismeretében a labdák kezdeti távolsága is kifejezhető a kezdősebességek vektoraival:
| \(\displaystyle (3) \) | \(\displaystyle d=\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert t,\) |
hiszen \(\displaystyle (1)\) miatt a \(\displaystyle (\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2)\) vektor vízszintes. A \(\displaystyle (2)\) és \(\displaystyle (3)\) egyenletekből:
\(\displaystyle d=\frac{2v_{1y}\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert}{g}\,.\)
A számlálóban álló kifejezés nem más, mint a \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok által kifeszített paralelogramma területének kétszerese. Könnyen belátható, hogy ez (és ezzel együtt a \(\displaystyle d\) távolság is) akkor maximális, ha a rögzített nagyságú \(\displaystyle \boldsymbol{v}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{v}_2\) vektorok egymásra merőlegesek. Ekkor a vektor-paralelogramma egy \(\displaystyle v_1v_2\) területű téglalap, azaz
\(\displaystyle d_{\textrm{max}}=\frac{2v_1v_2}{g}\approx 41~\rm m.\)
Statisztika:
53 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Elekes Dorottya, Flóring Balázs, Halász Henrik, Kaszonyi Márk, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Merics Vilmos, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Waldhauser Miklós. 4 pontot kapott: Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Kiss 987 Barnabás, Masa Barnabás, Nagy 456 Imre, Papp Marcell Imre, Szécsényi-Nagy Rudolf, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Vincze Farkas Csongor. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai