A P. 5446. feladat (2022. december)

P. 5446. Két diák egy mutatványra készül. A sportpályán egymástól bizonyos $\displaystyle d$ távolságra lévő focilabdákat egyszerre megrúgják úgy, hogy a labdák a levegőben találkozzanak. Az egyik diák $\displaystyle v_1=20$ m/s, a másik $\displaystyle v_2=10$ m/s sebességgel lövi el a labdát, de a kezdősebesség irányát szabadon megválaszthatják. Legfeljebb mekkora kezdeti $\displaystyle d_{\max}$ távolságra lehet egymástól a két labda ahhoz, hogy a mutatvány sikerüljön?

(A légellenállás hatását hanyagoljuk el.)

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Ha a labdák kezdeti $\displaystyle d$ távolsága a lehető legnagyobb, akkor a mutatvány még éppen sikerülhet, azaz a labdák közvetlenül a földet érés pillanata előtt találkoznak. A labdák azonos időt töltenek a levegőben, ezért a kezdeti sebességük függőleges komponense is megegyezik:

A mozgás ideje a ferde hajítás képletei szerint

Ennek ismeretében a labdák kezdeti távolsága is kifejezhető a kezdősebességek vektoraival:

hiszen $\displaystyle (1)$ miatt a $\displaystyle (\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2)$ vektor vízszintes. A $\displaystyle (2)$ és $\displaystyle (3)$ egyenletekből:

$\displaystyle d=\frac{2v_{1y}\vert\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\vert}{g}\,.$

A számlálóban álló kifejezés nem más, mint a $\displaystyle \boldsymbol{v}_1$ és $\displaystyle \boldsymbol{v}_2$ vektorok által kifeszített paralelogramma területének kétszerese. Könnyen belátható, hogy ez (és ezzel együtt a $\displaystyle d$ távolság is) akkor maximális, ha a rögzített nagyságú $\displaystyle \boldsymbol{v}_1$ és $\displaystyle \boldsymbol{v}_2$ vektorok egymásra merőlegesek. Ekkor a vektor-paralelogramma egy $\displaystyle v_1v_2$ területű téglalap, azaz

$\displaystyle d_{\textrm{max}}=\frac{2v_1v_2}{g}\approx 41~\rm m.$

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Beke Botond, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Csiszár András, Elekes Dorottya, Flóring Balázs, Halász Henrik, Kaszonyi Márk, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Merics Vilmos, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Kiss 987 Barnabás, Masa Barnabás, Nagy 456 Imre, Papp Marcell Imre, Szécsényi-Nagy Rudolf, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Vincze Farkas Csongor.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai