A P. 5447. feladat (2022. december)

P. 5447. Három egyforma, 5 cm sugarú jéghengert készítünk, és azokat az ábrán látható helyzetből kezdősebesség nélkül elengedjük. A súrlódás mindenhol elhanyagolható.

Mekkora gyorsulással indulnak el a jéghengerek?

Közli: Cserti József, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük azt a helyzetet, amikor az alsó két jéghenger már egy nagyon kicsit eltávolodott egymástól, és használjuk az ábra jelöléseit.

A felső henger $\displaystyle A$ tengelye éppen akkora gyorsulással mozog a másik henger $\displaystyle B$ tengelye felé, amennyivel $\displaystyle B$ távolodik $\displaystyle A$-tól, hiszen a közöttük lévő távolság állandó. Ezek szerint

$\displaystyle a_1\cos\beta=a_2\cos\alpha.$

Mivel az indulás pillanatában $\displaystyle \alpha=60^\circ$ és $\displaystyle \beta=30^\circ$, a fenti ,,kényszerfeltétel'' szerint

$\displaystyle a_2=\sqrt3\,a_1.$

Az indulást követő nagyon rövid $\displaystyle t$ idő alatt az $\displaystyle m$ tömegű felső henger lesüllyed $\displaystyle a_1t^2/2$-vel, és a sebessége $\displaystyle a_1t$ lesz. A vízszintesen (szimmetrikusan) szétcsúszó alsó hengerek sebessége $\displaystyle a_2t$ lesz. Az energiamegmaradás tétele szerint

$\displaystyle mg\dfrac{a_1}{2}t^2= \dfrac{1}{2}m(a_1t)^2+2\cdot \dfrac{1}{2}m(a_2t)^2,$

vagyis (a kényszerfeltételt is kihasználva)

$\displaystyle a_1g=a_1^1+2a_2^2=7a_1^2.$

Így a kérdéses gyorsulások:

$\displaystyle a_1=\frac17\,g\approx 1{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}, \qquad \text{illetve} \qquad a_2=\dfrac{\sqrt3}{7}\,g\approx 2{,}4~\frac{\rm m}{\rm s^2}.$

Az eredmény sem a jéghengerek méretétől, sem a tömegüktől nem függ.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Halász Henrik, Kovács Kristóf , Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Halász Sámuel, Klement Tamás.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai