A P. 5450. feladat (2022. december)

P. 5450. Az $\displaystyle f=5$ cm fókusztávolságú gyűjtőlencse optikai tengelyén, a lencsétől jobbra 30 cm-re és balra 18 cm-re található, pontszerűnek tekinthető szentjánosbogarak elkezdenek egymás felé mozogni 2 cm/s sebességgel. Mennyi idő múlva kerül fedésbe egymással a két bogár képe?

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A bal és jobb oldali bogár időfüggő tárgytávolsága $\displaystyle t_{\rm B}=t_{{\rm B}0}-vt$ és $\displaystyle t_{\rm J}=t_{{\rm J}0}-vt$ alakban adható meg, ahol $\displaystyle t_{{\rm B}0}$ és $\displaystyle t_{{\rm J}0}$ a bal és jobb oldali szentjánosbogár $\displaystyle t=0$ időpontban a lencsétől mért távolsága, továbbá $\displaystyle v$ jelöli a bogarak haladási sebességét. A bal és jobb oldali tárgyra is felírhatjuk a leképezési törvényt:

$\displaystyle \frac{1}{t_{\rm B}} + \frac{1}{k_{\rm B}} =\frac{1}{f},$

$\displaystyle \frac{1}{t_{\rm J}} + \frac{1}{k_{\rm J}} = \frac{1}{f}.$

A két kép fedésbe kerül egymással, ha $\displaystyle k_{\rm B} =- k_{\rm J}$. Ilyenkor a két egyenletet összeadva

$\displaystyle \frac{1}{t_{\rm B}} + \frac{1}{t_{\rm J}} = \frac{2}{f}$

adódik, amely $\displaystyle t$-ben másodfokú egyenletté alakítható:

$\displaystyle 2v^2 t^2 - 2v (t_{{\rm B}0}+t_{{\rm J}0}-f) t - f(t_{{\rm B}0}+t_{{\rm J}0}) + 2 t_{{\rm B}0}t_{{\rm J}0} = 0.$

Az egyenlet egyetlen fizikailag releváns megoldása $\displaystyle t_1=7{,}5$ s. (Az egyenlet másik gyöke $\displaystyle t_2=14$ s, ami azért nem fogadható el, mert a bal oldali bogár már 9 s alatt nekiütközik a lencsének.)

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Bálint, Beke Botond, Benes András, Bogdán Benedek, Brezina Gergely, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Éger Viktória, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Sámuel, Hegedűs Máté Miklós, Hetényi Klára Tímea, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Szabó Márton, Szanyi Attila, Tatár Ágoston, Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Szegedi Ágoston, Vágó Botond.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai