A P. 5451. feladat (2022. december)

P. 5451. Egy garázs váltóáramú ellátását háromfázisú betáplálással oldják meg. Ehhez öteres kábelt használnak, mind az öt ér azonos anyagú és keresztmetszetű. Az egyik vezeték (zöld-sárga) az érintésvédelmi föld, amin hibamentes használat esetén nem folyik áram. A (kék) nullvezető potenciálja mindig nulla, gyakorlatilag mindig földpotenciálon van. A három fázisvezetőben (barna, fekete és szürke) olyan módon változik a szinuszos potenciál, hogy az effektív érték $\displaystyle 230$ V, és bármely két fázisvezető potenciálja között $\displaystyle 120^\circ$-os a fáziskülönbség. Az egyes fázisvezetők és a nullvezető közé ohmos fogyasztókat kapcsolunk.

$\displaystyle a)$ Mekkora effektív feszültséget mérhetünk két különböző fázisvezető között?

$\displaystyle b)$ Mekkora a nullvezető effektív árama, ha két fázisvezetőben 10–10 A áram folyik, de a harmadik fázisvezetőn nem folyik áram?

$\displaystyle c)$ Mekkora a nullvezető effektív árama, ha mind a három fázisvezetőkben 10 A áram folyik?

$\displaystyle d$) Mekkora a nullvezető legkisebb és legnagyobb effektív árama, ha egyik fázisvezető effektív árama se haladja meg a 10 A-es értéket?

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Jól ismert és könnyen bizonyítható (többféleképpen is), hogy két fázisvezető között a feszültség $\displaystyle 230\,\textrm{V}\cdot \sqrt{3}=400\,\textrm{V}$.

$\displaystyle b)$ Ugyancsak többféleképpen is beláthatjuk, hogy a nullvezető (effektív) árama 10 A.

$\displaystyle c)$ Érdekes észrevenni, hogy ilyenkor a nullvezető árama 0.

$\displaystyle d)$ A legkisebb áramérték a nulla, ami akkor következik be, ha mind a három fázis azonos módon van terhelve, az áramkör kiegyenlített.

Megmutatjuk, hogy a legnagyobb áramerősség csúcsértéke a nullvezetőben $\displaystyle \sqrt2\cdot 10~{\rm A}\approx 14~$A, vagyis a legnagyobb effektív áramerősség 10 A. Ezt például a forgóvektoros ábrázolással láthatjuk be. Vegyünk fel három egységvektort (legyenek ezek $\displaystyle \boldsymbol e$, $\displaystyle \boldsymbol f$ és $\displaystyle \boldsymbol g$), amelyek egymással $\displaystyle 120^\circ$-os szöget zárnak be (lásd a nem méretarányos ábra bal oldalát). Az egyes fázisvezetőkben folyó (amper egységekben mért) áram az

$\displaystyle \alpha\cdot {\boldsymbol e}, \qquad (0\le \alpha\le 14),$

$\displaystyle \beta\cdot {\boldsymbol f}, \qquad (0\le \beta\le 14),$

$\displaystyle \gamma\cdot {\boldsymbol g}, \qquad (0\le \gamma\le 14)$

vektorokkal adható meg. A nullvezető áramának forgóvektora a fenti három vektor összege és ennek az áramnak a csúcsértéke az $\displaystyle OC$ távolsággal egyezik meg (lásd az ábra jobb oldalát).

Rajzoljunk egy $\displaystyle O$ középpontú, $\displaystyle OK=\sqrt2\cdot 10\approx 14$ egység sugarú kört. Ennek $\displaystyle O$ középpontjából indítjuk a vektorsokszöges összeadást, vagyis a középpontból mérjük fel az egyik fázisvezetőn folyó áram forgóvektorát. Ennek $\displaystyle A$ végpontjából mérjük fel a második fázisvezető áramvektorát, és így a kékkel jelölt, rombusz alakú tartomány valamelyik $\displaystyle B$ pontjába juthatunk el. Végül a $\displaystyle B$ pontból indítva felmérjük a $\displaystyle \gamma\cdot {\boldsymbol g}$ vektort, végül tehát a kék és a piros tartomány egyesítettjének (egy $\displaystyle 10$ egység oldalú szabályos hatszögnek) a belsejébe, vagy annak határára kerülünk.

Láthatjuk, hogy $\displaystyle OC\le \sqrt2\cdot 10\approx 14$, vagyis sehogy nem tudunk kilépni a kb. 14 A-es körből. A maximális, 14 amperes értéket hat esetben kaphatjuk meg, az ezekhez tartozó $\displaystyle (\alpha,\beta,\gamma)$ számhármasokat az ábrán a hatszög csúcsainál tüntettük fel. Láthatjuk, hogy a nullvezető áramának csúcsértéke akkor lesz 14 A (a $\displaystyle C$ pont akkor esik a körvonalra), ha vagy csak egy fázisvezetőben folyik áram, és annak csúcsértéke 14 A (tehát az effektív értéke 10 A), vagy ha csak két fázisvezetőben folyik $\displaystyle 14-14$ A csúcsértékű (10 A effektív értékű) áram, és a harmadik fázisvezetőben nem folyik áram.

Megjegyzés. Megfontolásaink során kihasználtuk, hogy mindhárom fázisvezető terhelése tisztán ohmos, emiatt az áramok a feszültségekkel azonos fázisúak. Ha a terhelés induktív és/vagy kapacitív elemeket is tartalmazna, a nullvezető effektív áramerőssége meghaladhatná a 10 ampert.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Klement Tamás, Nemeskéri Dániel, Tomesz László Gergő.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. decemberi fizika feladatai