Problem P. 5455. (January 2023)
P. 5455. A point-like object is given an initial horizontal velocity of magnitude \(\displaystyle v_0\) and is placed to the inner surface of a frictionless funnel, 10 cm from the symmetry axis of the funnel. The symmetry axis of the funnel is vertical and the angle between the symmetry axis and the wall of the funnel is \(\displaystyle 45^\circ\). What will the greatest speed of the object be if
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle v_0= 0.5\) m/s;
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v_0= 2.0\) m/s?
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A legnagyobb és a legkisebb sebességnél a test helyzeti energiájának szélsőértéke van, tehát a pontszerű test függőleges irányú sebessége nulla. Legyen a test vízszintes sebessége ebben a helyzetben \(\displaystyle v\), a tengelytől mért távolsága pedig \(\displaystyle r\). A perdületmegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle mRv_0=mrv,\)
ahol \(\displaystyle R=0{,}1\ \rm m\) a golyó kezdeti távolsága a tengelytől. Az energiamegmaradás törvénye alapján
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac12mv_0^2+mgR=\frac12mv^2+mgr.\) |
(Kihasználtuk, hogy a \(\displaystyle 45^\circ\)-os félnyílásszög miatt a tengelytől mért vízszintes távolság megegyezik a csúcstól mért függőleges távolsággal.) Ha (1)-ből kifejezzük \(\displaystyle r\)-et és azt (2)-be helyettesítjük, ezt kapjuk:
\(\displaystyle 2gR(v-v_0)=v(v-v_0)(v+v_0).\)
Ennek nyilvánvaló (triviális) megoldása \(\displaystyle v=v_0\), számunkra ez érdektelen, ezért egyszerűsíthetünk \(\displaystyle (v-v_0)\)-lal:
\(\displaystyle v^2+vv_0-2gR=0.\)
Ennek a másodfokú egyenletnek pozitív gyöke:
\(\displaystyle v=\frac{\sqrt{v_0^2+8gR}-v_0}{2}.\)
\(\displaystyle a)\) Az adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy \(\displaystyle v=1{,}17\ \frac{\rm m}{\rm s},\) ez lesz a test legnagyobb sebessége.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v_0=\) 2,0 m/s esetén \(\displaystyle v= 0{,}72\ \frac{\rm m}{\rm s},\) ami kisebb, mint a kezdősebesség (ez lesz a test legkisebb sebessége). Ebben az esetben a test legnagyobb sebessége a kezdősebesség, vagyis 2,0 m/s.
Statistics:
32 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Halász Henrik, Nemeskéri Dániel, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szanyi Attila. 4 points: Csonka Illés. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 12 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2023