 |
A P. 5455. feladat (2023. január) |
P. 5455. Egy függőleges tengelyű, \(\displaystyle 45^\circ\)-os félnyílásszögű, súrlódásmentes tölcsér belső felületére, a tengelyétől 10 cm távolságban \(\displaystyle v_0\) nagyságú vízszintes sebességgel egy pontszerű testet juttatunk. Mekkora lesz a test legnagyobb sebessége, ha
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle v_0= 0{,}5\) m/s;
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v_0= 2{,}0\) m/s?
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A legnagyobb és a legkisebb sebességnél a test helyzeti energiájának szélsőértéke van, tehát a pontszerű test függőleges irányú sebessége nulla. Legyen a test vízszintes sebessége ebben a helyzetben \(\displaystyle v\), a tengelytől mért távolsága pedig \(\displaystyle r\). A perdületmegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle mRv_0=mrv,\)
ahol \(\displaystyle R=0{,}1\ \rm m\) a golyó kezdeti távolsága a tengelytől. Az energiamegmaradás törvénye alapján
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac12mv_0^2+mgR=\frac12mv^2+mgr.\) |
(Kihasználtuk, hogy a \(\displaystyle 45^\circ\)-os félnyílásszög miatt a tengelytől mért vízszintes távolság megegyezik a csúcstól mért függőleges távolsággal.) Ha (1)-ből kifejezzük \(\displaystyle r\)-et és azt (2)-be helyettesítjük, ezt kapjuk:
\(\displaystyle 2gR(v-v_0)=v(v-v_0)(v+v_0).\)
Ennek nyilvánvaló (triviális) megoldása \(\displaystyle v=v_0\), számunkra ez érdektelen, ezért egyszerűsíthetünk \(\displaystyle (v-v_0)\)-lal:
\(\displaystyle v^2+vv_0-2gR=0.\)
Ennek a másodfokú egyenletnek pozitív gyöke:
\(\displaystyle v=\frac{\sqrt{v_0^2+8gR}-v_0}{2}.\)
\(\displaystyle a)\) Az adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy \(\displaystyle v=1{,}17\ \frac{\rm m}{\rm s},\) ez lesz a test legnagyobb sebessége.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v_0=\) 2,0 m/s esetén \(\displaystyle v= 0{,}72\ \frac{\rm m}{\rm s},\) ami kisebb, mint a kezdősebesség (ez lesz a test legkisebb sebessége). Ebben az esetben a test legnagyobb sebessége a kezdősebesség, vagyis 2,0 m/s.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Halász Henrik, Nemeskéri Dániel, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szanyi Attila. 4 pontot kapott: Csonka Illés. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. januári fizika feladatai