Problem P. 5456. (January 2023)

P. 5456. In the picture, you can see workers rolling up a well ring to a lorry along the planks (or they may also roll down the ring, along the planks). The weight of the well ring is 300 kg, the diameter is 1 m, the length of the planks is 5 m, and the height of the lorry platform is 1 m. Assume that the net force exerted by the workers' hands is parallel to the planks, the coefficient of friction between their hands and the well ring is 0.8, and that the well ring does not slide on the plank.

Determine the minimum force that must be exerted on the concrete well ring parallel to the planks if it is to roll uniformly, without slipping

\(\displaystyle a)\) upward;

\(\displaystyle b)\) downward.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

A pallókkal párhuzamos piros erő minimumát keressük. A pallók és a kútgyűrű érintkezési pontjára írjuk fel a forgatónyomatéki egyenletet:

\(\displaystyle mgR \sin \alpha=F(R+x), \)

ahol \(\displaystyle \alpha\) a lejtő hajlásszöge, továbbá \(\displaystyle (R + x)\) az \(\displaystyle F\) erő hatásvonalának a lejtőtől mért távolsága. Láthatjuk, hogy minél nagyobb \(\displaystyle x\), annál kisebb az \(\displaystyle F\) erő.

A pirosan jelölt \(\displaystyle F\) erőt felbonthatjuk a gyűrű érintőjének irányába mutató és arra merőleges összetevőkre, ezeket jelzik a szaggatott piros nyilak. Az érintő irányú komponens a tapadási súrlódási erő, a merőleges pedig a felületre merőleges nyomóerő. Határesetben ezek hányadosa megegyezik a tapadási súrlódási együttható értékével, tehát így megkaphatjuk a kékkel jelzett szöget:

\(\displaystyle \textrm{tg}\,\beta =0{,}8 \quad \to \quad \beta=38{,}7^\circ. \)

Csúcsszögek segítségével kaphatjuk meg \(\displaystyle x\)-et:

\(\displaystyle x=R \sin\beta. \)

Tehát a keresett legkisebb erő:

\(\displaystyle mgR \sin \alpha =F(R+R \sin \beta) \quad \to \quad F=\frac{mg \sin\alpha }{1+\sin\beta }=\frac{mg}{5(1+\sin \beta )} \approx 360\, \textrm{N}, \)

ahol kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \sin \alpha=1/5\).

Vegyük észre, hogy a számolás során sehol sem használtuk ki, hogy a lejtőn felfelé vagy lefelé mozog a kútgyűrű, az eredmény mindkét esetben ugyanaz.

Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Csilling Dániel, Csiszár András, Halász Henrik.
4 points:	Waldhauser Miklós.
3 points:	3 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2023