 |
A P. 5456. feladat (2023. január) |
P. 5456. A képen azt láthatjuk, hogy munkások egy kútgyűrűt raknak fel (vagy esetleg engednek le) pallókon egy teherautóról. A kútgyűrű tömege 300 kg, átmérője 1 m, a pallók hossza 5 m, a teherautó platójának magassága 1 m. Tegyük fel, hogy a munkások kezei által kifejtett erők eredője párhuzamos a pallókkal, valamint a kezük és a kútgyűrű között 0,8 a tapadási súrlódási együttható, továbbá a kútgyűrű nem csúszik meg a pallón.
Határozzuk meg, hogy a pallókkal párhuzamosan legalább mekkora erőt kell a betongyűrűre kifejteni, ha egyenletes mozgással, megcsúszás nélkül akarjuk görgetni
\(\displaystyle a)\) felfelé;
\(\displaystyle b)\) lefelé!
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás.
A pallókkal párhuzamos piros erő minimumát keressük. A pallók és a kútgyűrű érintkezési pontjára írjuk fel a forgatónyomatéki egyenletet:
\(\displaystyle mgR \sin \alpha=F(R+x), \)
ahol \(\displaystyle \alpha\) a lejtő hajlásszöge, továbbá \(\displaystyle (R + x)\) az \(\displaystyle F\) erő hatásvonalának a lejtőtől mért távolsága. Láthatjuk, hogy minél nagyobb \(\displaystyle x\), annál kisebb az \(\displaystyle F\) erő.
A pirosan jelölt \(\displaystyle F\) erőt felbonthatjuk a gyűrű érintőjének irányába mutató és arra merőleges összetevőkre, ezeket jelzik a szaggatott piros nyilak. Az érintő irányú komponens a tapadási súrlódási erő, a merőleges pedig a felületre merőleges nyomóerő. Határesetben ezek hányadosa megegyezik a tapadási súrlódási együttható értékével, tehát így megkaphatjuk a kékkel jelzett szöget:
\(\displaystyle \textrm{tg}\,\beta =0{,}8 \quad \to \quad \beta=38{,}7^\circ. \)
Csúcsszögek segítségével kaphatjuk meg \(\displaystyle x\)-et:
\(\displaystyle x=R \sin\beta. \)
Tehát a keresett legkisebb erő:
\(\displaystyle mgR \sin \alpha =F(R+R \sin \beta) \quad \to \quad F=\frac{mg \sin\alpha }{1+\sin\beta }=\frac{mg}{5(1+\sin \beta )} \approx 360\, \textrm{N}, \)
ahol kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \sin \alpha=1/5\).
Vegyük észre, hogy a számolás során sehol sem használtuk ki, hogy a lejtőn felfelé vagy lefelé mozog a kútgyűrű, az eredmény mindkét esetben ugyanaz.
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Csilling Dániel, Csiszár András, Halász Henrik. 4 pontot kapott: Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. januári fizika feladatai