Problem P. 5457. (January 2023)

P. 5457. The internal length of a thermally insulated cylindrical tank is \(\displaystyle L\). The container is divided into two parts by an insulating piston; the left part contains a sample of monatomic ideal gas, and there is vacuum in the right part (see the figure). The piston is connected to the right end of the tank by spring, whose unextended length is \(\displaystyle L\). The gas is slowly heated by an electric heating element in the left half of the cylinder.

Determine the molar heat of the gas in this process.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rugó összenyomódása (tehát az általa kifejtett erő és az annak megfelelő nyomás) a bal oldali térfélben lévő gáz térfogatával arányos: \(\displaystyle p=\lambda V\), ahol \(\displaystyle \lambda\) állandó (ez azért igaz, mert a rugó nyújtatlan hossza megegyezik a tartály belső hosszával).

Az egyatomos gáz belső energiája:

\(\displaystyle E=\frac32 pV=\frac32\lambda V^2,\)

aminek megváltozása a térfogat kicsiny \(\displaystyle \Delta V\) változásakor:

\(\displaystyle \Delta E=\frac32\lambda \left[(V+\Delta V)^2-V^2 \right]\approx 3\lambda V \Delta V.\)

A tágulás során a gáz által végzett munka:

\(\displaystyle W'=p\Delta V=\lambda V \Delta V.\)

A hőtan I. főtétele szerint

\(\displaystyle Q=\Delta E+W'= 4\lambda V \Delta V.\)

Másrészt a gáztörvény alapján

\(\displaystyle pV=\lambda V^2=nRT,\)

ami a kicsiny megváltozásokra ezt adja:

\(\displaystyle nR(T+\Delta T)=\lambda (V+\Delta V)^2,\)

vagyis

\(\displaystyle nRT+nR\Delta T=\lambda V^2+2\lambda V\Delta V+\lambda(\Delta V)^2,\)

amiből

\(\displaystyle nR\Delta T= 2\lambda V \Delta V+\lambda(\Delta V)^2\approx 2\lambda V \Delta V.\)

A gáz mólhője erre a folyamatra:

\(\displaystyle C=\cfrac{Q}{n\Delta T}=2R.\)

Statistics:

45 students sent a solution.
5 points:	Arnold Lőrinc, Beke Bálint, Beke Botond, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csiszár András, Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Katona Attila Zoltán, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Masa Barnabás, Merics Vilmos, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Márton, Szabó Zsombor.
4 points:	Bencz Benedek, Osváth Emese, Tárnok Ede .
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2023