Problem P. 5458. (January 2023)
P. 5458. Three batteries have the same electromotive force of 12 V and each of them has an internal resistance of 3 \(\displaystyle \Omega\). How should the batteries be connected in order that we obtain the maximum power dissipated in the external resistance \(\displaystyle R\), and what is this power if
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle R = 1 \Omega\);
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle R = 3 \Omega\);
\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle R = 3.5 \Omega\);
\(\displaystyle d)\) \(\displaystyle R = 6 \Omega\)?
(4 pont)
Deadline expired on February 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsünk először egy általánosabb problémát: Mekkora \(\displaystyle U^*\) üresjárati feszültségű és mekkora \(\displaystyle R^*\) belső ellenállású lesz az a feszültségforrás, amit egy \(\displaystyle U_1\) és \(\displaystyle R_1\) adatokkal jellemzett és egy \(\displaystyle U_2\) és \(\displaystyle R_2\) adatokkal jellemzett telep soros, illetve párhuzamos kapcsolásával nyerünk? Ezeket az értékeket pl. úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámítjuk a telepen átfolyó áram reciprokát \(\displaystyle R\) nagyságú terhelő ellenállás függvényében. Mivel az Ohm-törvény szerint \(\displaystyle U=I(R+R^*)\), ebből
\(\displaystyle \frac1{I}\equiv f(R)=\frac1{U^*}\cdot R +\frac{R^*}{U^*}.\)
Látjuk, hogy az \(\displaystyle f(R)\) függvény lineáris, a grafikonja olyan egyenes, amelynek meredeksége \(\displaystyle \frac{1}{U^*}\), tengelymetszete pedig \(\displaystyle \frac{R^*}{U^*}\).
\(\displaystyle (i)\) Soros kapcsolásnál
\(\displaystyle I=\frac{U_1+U_2}{R_1+R_2+R},\)
vagyis
\(\displaystyle \frac1{I}=\frac1{U_1+U_2}\cdot R+\frac{R_1+R_2}{U_1+U_2}\equiv \frac1{U^*}\cdot R +\frac{R^*}{U^*},\)
ahonnan leolvashatjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle U^*=U_1+U_2, \qquad \text{valamint} \qquad R^*=R_1+R_2.\) |
\(\displaystyle (ii)\) Hasonló módon kapjuk, hogy párhuzamos kapcsolásnál
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle U^*=\frac{U_1R_2+U_2R_1}{R_1+R_2}, \qquad \text{továbbá} \qquad R^*=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}.\) |
A három egyforma telepet négyféle módon kapcsolhatjuk össze:
\(\displaystyle A)\) a három telepet sorosan kapcsoljuk;
\(\displaystyle B)\) a három telepet párhuzamosan kapcsoljuk;
\(\displaystyle C)\) két telepet sorosan, majd a harmadikat ezekkel párhuzamosan kapcsoljuk (ami nem egy értelmes kapcsolás, hiszen az eredő telepben létrehozott hurokban akkor is árom fog folyni, ha semmit se kötöttünk rá);
\(\displaystyle D)\) két telepet párhuzamosan, majd a harmadikat ezekkel sorosan kapcsoljuk.
Számítsuk ki ezekre az esetekre az eredő üresjárati feszültséget és az eredő belső ellenállást. (Az áramforrásokat azonos polaritással kapcsoljuk össze. Ha nem így tennénk, a leadott teljesítmény tetszőleges \(\displaystyle R\) terhelésnél kisebb lenne, mint az azonos polaritású esetben.) Az (1) és (2) képletek kétszeri alkalmazásával kapjuk, hogy a megadott tulajdonságú telepeknél
\(\displaystyle \text{az A) esetben:}\qquad \qquad U^*=36\ {\rm V},\qquad \qquad R^*=9\ \Omega;\)
\(\displaystyle \ \text{a B) esetben:}\qquad \qquad U^*=12\ {\rm V},\qquad \qquad R^*=1\ \Omega;\)
\(\displaystyle \ \text{a C) esetben:}\qquad \qquad U^*=16\ {\rm V},\qquad \qquad R^*=2\ \Omega;\)
\(\displaystyle \ \text{a D) esetben:}\qquad \qquad U^*=24\ {\rm V},\qquad \qquad R^*=4{,}5\ \Omega.\)
Akármelyik kapcsolást nézzük is, az \(\displaystyle R\) külső terhelő ellenálláson átfolyó áram erőssége
\(\displaystyle I=\frac{U^*}{R^*+R},\)
a leadott teljesítmény pedig
\(\displaystyle P=I^2R=\left(\frac{U^*}{R^*+R}\right)^2\,R.\)
Számítsuk ki ezeket a teljesítményeket valamennyi ellenállásnál valamennyi kapcsolásra.
Az \(\displaystyle a)\) esetben (amikor \(\displaystyle R = 1\ \Omega\)):
\(\displaystyle P_{aA}=13{,}0\ \rm W; \qquad P_{aB}={\large \bf 36\ \rm W}; \qquad P_{aC}={28{,}4\ \rm W}; \qquad P_{aD}=19{,}0\ \rm W. \qquad\)
A legnagyobb teljesítményt tehát a párhuzamosan kapcsolt telepek adják le.
A \(\displaystyle b)\) esetben (amikor \(\displaystyle R = 3\ \Omega\)):
\(\displaystyle P_{bA}=27{,}0\ \rm W; \qquad P_{bB}=27{,}0\ \rm W; \qquad P_{bC}={\large\bf 30{,}72\ \rm W}; \qquad P_{bD}={\large\bf 30{,}72\ \rm W}. \qquad\)
A vegyes (soros-párhuzamos és a párhuzamos) kapcsolású telepek ugyanakkora teljesítményt adnak le, a ,,tiszta'' kapcsolásokban kevesebb teljesítmény jut a külső ellenállásra.
A \(\displaystyle c)\) esetben (amikor \(\displaystyle R = 3{,}5\ \Omega\)):
\(\displaystyle P_{cA}=29{,}0\ \rm W; \qquad P_{cB}=24{,}9\ \rm W; \qquad P_{cC}=29{,}6\ \rm W; \qquad P_{cD}={\large\bf 31{,}5\ \rm W}. \qquad\)
A legnagyobb teljesítményt tehát az egyik vegyes telepkapcsolásnál kapjuk (két párhuzamosan kapcsolt teleppel sorosan kapcsolva a harmadik).
A \(\displaystyle d)\) esetben (amikor \(\displaystyle R = 6\ \Omega\)):
\(\displaystyle P_{dA}={\large\bf 34{,}6\ \rm W}; \qquad P_{dB}=17{,}6\ \rm W; \qquad P_{dC}=24{,}0\ \rm W; \qquad P_{dD}=31{,}3\ \rm W. \qquad\)
A legnagyobb teljesítményt tehát a sorosan kapcsolt telepek adják le.
Statistics:
49 students sent a solution. 4 points: Bunford Luca, Fórizs Borbála, Molnár Kristóf, Tatár Ágoston. 3 points: Arnold Lőrinc, Benes András, Bocor Gergely, Boér Panna Rita, Csilling Dániel, Csiszár András, Dercsényi Bence, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Kiss 987 Barnabás, Klement Tamás, Sipeki Árpád, Szabó Zsombor, Vágó Botond. 2 points: 11 students. 1 point: 12 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, January 2023