Problem P. 5460. (January 2023)
P. 5460. Coloured perfume is marketed in cylindrical bottles with an outer diameter of 4 cm, and a height of 10 cm. The thickness of the wall of the bottle is constant and its material has a refractive index of \(\displaystyle n=1.5\). The perfume is placed on the shelf at eye level and backlit. Distant customers see the cylinder as having a wall thickness of zero (the photograph is for illustration purposes only, the shape of the bottle and the wall thickness are different from those described in the exercise). At least how many ml of perfume can be in the bottle?
(4 pont)
Deadline expired on February 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A színes parfüm egyes részeiről elinduló fénysugarak az \(\displaystyle R\) külső sugarú üvegből kilépve párhuzamosan haladva jutnak el a távoli megfigyelő szemébe. Akkor látjuk az üveget teljes szélességében színesnek, ha van olyan fénysugár, amelyik az üveghenger külső felületéről érintőlegesen indul el a szemünk felé (lásd a bal oldali ábrát). Ezt a legszélső fénysugarat ,,visszafelé követve'' látjuk, hogy annak el kell érnie a színes parfüm tartományát. A határesetet az jellemzi, hogy ez a fénysugár érinti az üveg belső, \(\displaystyle r\) sugarú hengerfelületét.
A törési törvény szerint (lásd a jobb oldali ábrát)
\(\displaystyle \sin\alpha=\frac1{n},\)
és így az üvegtartály belső sugara legalább
\(\displaystyle r=R\sin\alpha=\frac{R}n{}=\frac{2\ \rm cm}{1{,}5}=1{,}33\ \rm cm.\)
Az üveg vastagsága tehát legfeljebb
\(\displaystyle d=R-r=0{,}67\ \rm cm\)
lehet.
Feltételezve, hogy az üveghenger alsó és felső lapja is \(\displaystyle d\) vastagságú, a \(\displaystyle H\) magasságú tartály (belső) térfogata legalább
\(\displaystyle V_\text{min}=(H-2d)r^2\pi\approx 48\ \rm cm^3.\)
A (feltehetően 50 ml névleges térfogatú) parfümös üveg tehát legalább 48 ml folyadékot tartalmaz.
Statistics:
6 students sent a solution. 3 points: Bogdán Benedek, Szabó Zsombor. 2 points: 2 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, January 2023