A P. 5460. feladat (2023. január)

P. 5460. Színes parfümöt 4 cm külső átmérőjű, 10 cm magas, állandó falvastagságú, henger alakú, $\displaystyle n=1{,}5$ törésmutatójú üvegben hoznak forgalomba. A parfümöt a polcon szemmagasságban helyezik el, és hátulról világítják meg. A távoli vásárlók úgy látják, mintha a hengerpalást falvastagsága nulla lenne (a fénykép csak illusztráció, az üveg alakja és a falvastagsága eltér a feladatban leírtaktól). Legalább hány ml parfüm lehet az üvegben?

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A színes parfüm egyes részeiről elinduló fénysugarak az $\displaystyle R$ külső sugarú üvegből kilépve párhuzamosan haladva jutnak el a távoli megfigyelő szemébe. Akkor látjuk az üveget teljes szélességében színesnek, ha van olyan fénysugár, amelyik az üveghenger külső felületéről érintőlegesen indul el a szemünk felé (lásd a bal oldali ábrát). Ezt a legszélső fénysugarat ,,visszafelé követve'' látjuk, hogy annak el kell érnie a színes parfüm tartományát. A határesetet az jellemzi, hogy ez a fénysugár érinti az üveg belső, $\displaystyle r$ sugarú hengerfelületét.

A törési törvény szerint (lásd a jobb oldali ábrát)

$\displaystyle \sin\alpha=\frac1{n},$

és így az üvegtartály belső sugara legalább

$\displaystyle r=R\sin\alpha=\frac{R}n{}=\frac{2\ \rm cm}{1{,}5}=1{,}33\ \rm cm.$

Az üveg vastagsága tehát legfeljebb

$\displaystyle d=R-r=0{,}67\ \rm cm$

lehet.

Feltételezve, hogy az üveghenger alsó és felső lapja is $\displaystyle d$ vastagságú, a $\displaystyle H$ magasságú tartály (belső) térfogata legalább

$\displaystyle V_\text{min}=(H-2d)r^2\pi\approx 48\ \rm cm^3.$

A (feltehetően 50 ml névleges térfogatú) parfümös üveg tehát legalább 48 ml folyadékot tartalmaz.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Bogdán Benedek, Szabó Zsombor.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. januári fizika feladatai