Problem P. 5461. (January 2023)

P. 5461. The \(\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}\) isotope is not produced by the decay of other elements, so its quantity on the Earth has halved every 1.25 billion years since the Earth was formed. The \(\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}\) decays by electron capture or by \(\displaystyle \beta^+\) decay (11%) and by \(\displaystyle \beta^{-}\) decay (89%).

\(\displaystyle a)\) What nuclei are produced in each radioactive process?

\(\displaystyle b)\) One of the decay products is gaseous and does not escape after a rock solidifies. Analysing this rock sample, it was found that the amount of gas produced was 90% of the \(\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}\) that was still present. How long ago did the rock solidify?

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Elektronbefogással, illetve \(\displaystyle \beta^+\)-bomlással a magban a protonok száma csökken, miközben a tömegszám változatlan marad, tehát a \(\displaystyle ^{40}\)K izotópból \(\displaystyle ^{40}\)Ar keletkezik, ami gáz halmazállapotú. \(\displaystyle \beta^-\)-bomlásnál a rendszám (a protonok száma) 1-gyel nő, míg a tömegszám nem változik, tehát \(\displaystyle ^{40}\)K-ból \(\displaystyle ^{40}\)Ca jön létre.

\(\displaystyle b)\) Ezek szerint az elektronbefogás vagy a pozitív béta-bomlás az a magreakció, amiben gáz keletkezik, mégpedig argon. \(\displaystyle N\) kezdeti \(\displaystyle ^{40}\)K atomot feltételezve, a keletkezett \(\displaystyle ^{40}\)Ar izotópok száma \(\displaystyle t\) idő elteltével, \(\displaystyle T\) felezési idő mellett \(\displaystyle 0,11\cdot N(1-2^{-t/T})\), ami a megmaradt \(\displaystyle ^{40}\)K izotópok számának 90%-a:

\(\displaystyle 0{,}11\cdot N\cdot (1-2^{-t/T})=0{,}9\cdot N\cdot 2^{-t/T}.\)

Innen \(\displaystyle t=3{,}2\cdot T= 4{,}0\cdot 10^9\) év.

Statistics:

51 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Benes András, Bodré Zalán, Dancsák Dénes, Fajszi Karsa, Kiss Hunor, Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Schmercz Blanka, Sipeki Árpád, Szabó Zsombor, Szanyi Attila, Tatár Ágoston, Tóth Kolos Barnabás, Waldhauser Miklós.
3 points:	Bálint Máté, Csernyik Péter, Éger Viktória, Juhász Júlia, Kaszonyi Márk, Kissebesi Máté, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Papp Marcell Imre, Szécsényi-Nagy Rudolf, Vásárhelyi István Péter.
2 points:	10 students.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2023