A P. 5462. feladat (2023. január)

P. 5462. Elhanyagolható tömegű rugóhoz hosszú hasábot erősítünk. Ha a rugót a másik végénél fogva felfüggesztjük, megnyúlása $\displaystyle s=15$ cm lesz. Ezután a rugót és a hasábot vízszintes, súrlódásmentes síkra helyezzük, és a rugó szabad végét rögzítjük. A hasábot az ábrán látható módon $\displaystyle \ell$ távolsággal hátrahúzzuk, így a rugó megnyúlik. Végül a hasáb felső lapjára, annak rugó felőli végére egy kocka alakú testet helyezünk. A hasáb és a kocka közötti (tapadási és csúszási) súrlódási együttható $\displaystyle \mu=0{,}2$.

Ha a hasábot elengedjük, a rendszer mozgásba jön, és a kocka elcsúszik a hasábon. A két test közötti csúszás azt a pillanatot követően szűnik meg, amikor a hasáb gyorsulása nullává válik.

$\displaystyle a)$ Mennyi ideig csúszott a kocka a hasábon?

$\displaystyle b)$ Legalább mekkora az $\displaystyle \ell$ távolság, ha a leírt mozgás létrejöhetett?

$\displaystyle c)$ Mekkora távolsággal csúszott el a kocka a hasábon?

Közli:Wiedemann László, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás.Jelöljük a rugó direkciós erejét $\displaystyle D$-vel, a hasáb tömegét $\displaystyle M$-mel, a kocka tömegét $\displaystyle m$-mel. A függőlegesen tartott rugónál a hasáb egyensúlyának feltétele:

Tételezzük fel egy pillanatra, hogy a hasáb elengedésekor a kocka nem kezd el csúszni, hanem együtt mozog a hasábbal. A két test $\displaystyle a$ gyorsulását a $\displaystyle D\ell$ rugóerő okozza:

$\displaystyle D\ell=(M+m)a, \qquad \text{tehát}\qquad a=\dfrac{D\ell}{M+m}.$

A súrlódási erő, ami a testek között hat (a hasábot fékezi, a kocka alakú testet gyorsítja) nem lehet nagyobb, mint $\displaystyle \mu mg$, tehát a kocka maximális gyorsulása (amikor nem csúszik a hasábon) $\displaystyle a_{\rm max}=\mu g$. A kis test tehát csak akkor nem csúszik meg a hasábon, ha

$\displaystyle \dfrac{D\ell}{M+m}\le \mu g, \qquad \text{vagyis}\qquad\ell\le \dfrac{\mu g}{D}(M+m).$

Ha ez a feltétel nem teljesül, hanem

a kis test ,,lemarad'' a hasábhoz képes, tehát elcsúszik azon. A továbbiakban feltételezzük, hogy ez következik be, és a (2) egyenlőtlenség teljesülését majd később ellenőrizzük.

$\displaystyle a)$ Legyen a hasáb távolsága a nyújtatlan rugó végpontjától $\displaystyle x(t)$, a kocka távolsága pedig $\displaystyle y(t)$. (Az időt a hasáb elengedésének pillanatától kezdődően mérjük.) Mivel a rugóerő ilyenkor $\displaystyle -Dx$, a súrlódási erő pedig $\displaystyle \mu mg$, a két test mozgásegyenlete:

$\displaystyle Ma_x=-D x+\mu mg,$

ami így is felírható:

továbbá

Látható, hogy az $\displaystyle x -\frac{\mu mg}D$ változóra a harmonikus rezgőmozgás egyenlete áll fenn, amelynek megoldása (az $\displaystyle x(0)=\ell$ és $\displaystyle v_x(0)=0$ kezdeti feltételeket is figyelembe véve):

ahol

továbbá a hasáb sebessége

A (3) egyenlet könnyebben megoldható, hiszen az egy egyenletesen gyorsuló test mozgásegyenlete:

a kocka pillanatnyi sebessége pedig:

A hasáb gyorsulása negyed rezgés után csökken nullára:

ami (1) alapján így is írható:

$\displaystyle t_0=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{s}{g}}=0{,}2\ \rm s.$

$\displaystyle b)$ A csúszás akkor szűnik meg, amikor a két test sebessége megegyezik:

$\displaystyle v_x(t_0)=v_y(t_0),$

ahonnan (6), (7), (9) és (10) felhasználásával kapjuk, hogy

$\displaystyle \ell=\dfrac{\mu gM}{D}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{m}{M}\right).$

Innen látszik, hogy a (2) feltétel biztosan teljesül, hiszen $\displaystyle \pi/2>1$. Az $\displaystyle m$ tömeg nagyságát nem ismerjük, de biztosan igaz, hogy $\displaystyle m>0$, ennek megfelelően

$\displaystyle \ell>\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\mu M g}{D}=\dfrac{\pi}{2}\,\mu s=0{,}047\ {\rm m} \approx 5\ \rm cm.$

$\displaystyle c)$ A kockának a hasábhoz viszonyított elmozdulása (tehát a csúszásának hossza) $\displaystyle t_0$ idő alatt

$\displaystyle \Delta s=y(t_0)-x(t_0),$

ami (5), (8) és (10) szerint

$\displaystyle \Delta s=\mu s\left[\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{m}{M}\right)-\dfrac{\pi^2 }8\right] -\mu s\dfrac{m}{M}=\mu s \left( \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi^2 }8\right)\approx 1\ \rm cm.$

(Érdekes, hogy $\displaystyle \Delta s$ nem függ a kocka $\displaystyle m$ tömegétől, emiatt nem okozott problémát, hogy annak nagysága nem szerepelt a megadott számadatok között.)

Megjegyzés. Belátható, hogy a csúszás megszűnte után, amikor a hasáb és a kocka egyetlen testként mozog, a kockára ható (vízszintes) erő nem haladja meg a $\displaystyle \mu mg$ kritikus értéket, tehát a továbbiakban semmikor nem kezd újra csúszni.

A csúszás megszűntének pillanatában mind a hasáb, mind pedig a kocka gyorsulása ugrásszerűen megváltozik, a közös gyorsulásuk a tömegközéppont korábbi gyorsulásával egyezik meg.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencz Benedek, Flóring Balázs, Molnár Kristóf, Szabó Zsombor.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. januári fizika feladatai