A P. 5467. feladat (2023. február)

P. 5467. Egy 20 cm hosszú, $\displaystyle 3~\mathrm{cm}^2$ keresztmetszetetű, megfelelő elektromos szigeteléssel ellátott rézrúdon teljes hosszában egyenletesen feltekert fűtőszál van. A rudat függőlegesen tartjuk úgy, hogy az alsó vége éppen beleér egy olvadó jeget tartalmazó pohár vizébe, így folyamatosan $\displaystyle 0\;{}^\circ$C hőmérsékletű marad. Hány fokra melegszik fel elegendően hosszú idő alatt a rúd másik vége, ha a fűtőszál 100 W teljesítménnyel melegíti a rézrudat?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. A Newton-féle hővezetési törvény szerint (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Hőátadás alpontot) a rúd kicsiny, $\displaystyle \Delta x$ hosszúságú, $\displaystyle A$ keresztmetszetű darabján időegységenként

$\displaystyle \Phi=\frac{Q}{t}=-\lambda A\frac{\Delta T}{\Delta x}$

hő áramlik át, ahol $\displaystyle \Delta T$ a hőmérsékletkülönbség, $\displaystyle \lambda$ pedig az anyag hővezetési tényezője. Rézre $\displaystyle \lambda=395\ \dfrac{\rm W}{\rm m\,K}$.

Esetünkben a $\displaystyle \Phi$ hőáram nem mindenhol ugyanakkora, hanem a rúd mentén változik. (Feltételezzük, hogy a rézrúdból a hő csak a víz felé távozhat.) Ha a rúd hossza $\displaystyle \ell$ és a fűtőszál teljesítménye $\displaystyle P$, akkor a rúd felső végétől $\displaystyle x$ távolságban

$\displaystyle \Phi(x)=\dfrac{x}{\ell}P,$

hiszen az $\displaystyle x$ hosszúságú szakaszon leadott teljesítmény a fűtőszál hosszával arányos.

Látható, hogy a hőáram az $\displaystyle x$ távolság lineáris függvénye, tehát az átlagos értéke

$\displaystyle \Phi_\text{átlag}=\dfrac{\Phi_\text{min}+\Phi_\text{max}}{2}=\dfrac{\Phi(0)+\Phi(\ell)}{2}= \dfrac{P}{2}.$

Ha a rúd felső végének (Celsius-fokban mért) hőmérséklete $\displaystyle T$, akkor felírhatjuk:

$\displaystyle \Phi_\text{átlag}= -\lambda A\frac{\Delta T}{ \ell}=-\lambda A\frac{0-T}{ \ell}= \frac{ \lambda A T}{ \ell},$

vagyis

$\displaystyle T=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.$

II. megoldás. A hővezetés egyenlete szerint (az I. megoldás jelöléseivel)

$\displaystyle \Phi(x) =-\lambda A\frac{\Delta T(x)}{\Delta x},$

az energiaáramlás mérlegegyenlete pedig

$\displaystyle \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=\dfrac{P}{\ell}.$

Tudjuk, hogy $\displaystyle \Phi(0)=0$ (hiszen a rúd legtetején még nincs elvezetendő hő), továbbá (az olvadó jég miatt) $\displaystyle T(\ell)=0$.

A fenti két egyenlet (ami a megváltozásokra vonatkozik, tehát tulajdonképpen differenciálegyenlet) sokkal ismerősebb lesz, ha az alábbi jelöléseket alkalmazzuk:

$\displaystyle x\qquad\Longleftrightarrow\qquad t,$

$\displaystyle T(x)\qquad\Longleftrightarrow\qquad s(t),$

$\displaystyle -\dfrac{\Phi(x)}{\lambda A}\quad\Longleftrightarrow\quad v(t),$

$\displaystyle \frac{P}{\ell\lambda A}\qquad\Longleftrightarrow\qquad g.$

Ezekkel a megoldandó egyenletek:

$\displaystyle v(t)=\frac{\Delta s}{\Delta t},\qquad\frac{\Delta v}{\Delta t}=-g = \text{állandó,}$

továbbá $\displaystyle v(0)=0$ és $\displaystyle s(t=\ell)$=0. Keressük $\displaystyle s(0)$ értékét.

Ráismerhetünk, hogy ezek a szabadesés egyenletei, a megoldásuk pedig

$\displaystyle s(t)=s(0)-\frac{g}2t^2.$

Kérdés: Milyen magasról ejtsünk le kezdősebesség nélkül egy testet, hogy $\displaystyle t=\ell$ ,,idő'' alatt érjen le a földre? A válasz ismert: $\displaystyle s(0)=\dfrac{g}{2}\ell^2$, vagyis a hővezetési probléma megoldása:

$\displaystyle T(x=0)=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.$

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Dercsényi Bence, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Molnár Kristóf.
4 pontot kapott:	Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2023. februári fizika feladatai