 |
A P. 5467. feladat (2023. február) |
P. 5467. Egy 20 cm hosszú, \(\displaystyle 3~\mathrm{cm}^2\) keresztmetszetetű, megfelelő elektromos szigeteléssel ellátott rézrúdon teljes hosszában egyenletesen feltekert fűtőszál van. A rudat függőlegesen tartjuk úgy, hogy az alsó vége éppen beleér egy olvadó jeget tartalmazó pohár vizébe, így folyamatosan \(\displaystyle 0\;{}^\circ\)C hőmérsékletű marad. Hány fokra melegszik fel elegendően hosszú idő alatt a rúd másik vége, ha a fűtőszál 100 W teljesítménnyel melegíti a rézrudat?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. március 16-án LEJÁRT.
I. megoldás. A Newton-féle hővezetési törvény szerint (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Hőátadás alpontot) a rúd kicsiny, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű darabján időegységenként
\(\displaystyle \Phi=\frac{Q}{t}=-\lambda A\frac{\Delta T}{\Delta x}\)
hő áramlik át, ahol \(\displaystyle \Delta T\) a hőmérsékletkülönbség, \(\displaystyle \lambda\) pedig az anyag hővezetési tényezője. Rézre \(\displaystyle \lambda=395\ \dfrac{\rm W}{\rm m\,K}\).
Esetünkben a \(\displaystyle \Phi\) hőáram nem mindenhol ugyanakkora, hanem a rúd mentén változik. (Feltételezzük, hogy a rézrúdból a hő csak a víz felé távozhat.) Ha a rúd hossza \(\displaystyle \ell\) és a fűtőszál teljesítménye \(\displaystyle P\), akkor a rúd felső végétől \(\displaystyle x\) távolságban
\(\displaystyle \Phi(x)=\dfrac{x}{\ell}P,\)
hiszen az \(\displaystyle x\) hosszúságú szakaszon leadott teljesítmény a fűtőszál hosszával arányos.
Látható, hogy a hőáram az \(\displaystyle x\) távolság lineáris függvénye, tehát az átlagos értéke
\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}=\dfrac{\Phi_\text{min}+\Phi_\text{max}}{2}=\dfrac{\Phi(0)+\Phi(\ell)}{2}= \dfrac{P}{2}.\)
Ha a rúd felső végének (Celsius-fokban mért) hőmérséklete \(\displaystyle T\), akkor felírhatjuk:
\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}= -\lambda A\frac{\Delta T}{ \ell}=-\lambda A\frac{0-T}{ \ell}= \frac{ \lambda A T}{ \ell},\)
vagyis
\(\displaystyle T=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)
II. megoldás. A hővezetés egyenlete szerint (az I. megoldás jelöléseivel)
\(\displaystyle \Phi(x) =-\lambda A\frac{\Delta T(x)}{\Delta x},\)
az energiaáramlás mérlegegyenlete pedig
\(\displaystyle \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=\dfrac{P}{\ell}.\)
Tudjuk, hogy \(\displaystyle \Phi(0)=0\) (hiszen a rúd legtetején még nincs elvezetendő hő), továbbá (az olvadó jég miatt) \(\displaystyle T(\ell)=0\).
A fenti két egyenlet (ami a megváltozásokra vonatkozik, tehát tulajdonképpen differenciálegyenlet) sokkal ismerősebb lesz, ha az alábbi jelöléseket alkalmazzuk:
\(\displaystyle x\qquad\Longleftrightarrow\qquad t,\)
\(\displaystyle T(x)\qquad\Longleftrightarrow\qquad s(t),\)
\(\displaystyle -\dfrac{\Phi(x)}{\lambda A}\quad\Longleftrightarrow\quad v(t),\)
\(\displaystyle \frac{P}{\ell\lambda A}\qquad\Longleftrightarrow\qquad g.\)
Ezekkel a megoldandó egyenletek:
\(\displaystyle v(t)=\frac{\Delta s}{\Delta t},\qquad\frac{\Delta v}{\Delta t}=-g = \text{állandó,}\)
továbbá \(\displaystyle v(0)=0\) és \(\displaystyle s(t=\ell)\)=0. Keressük \(\displaystyle s(0)\) értékét.
Ráismerhetünk, hogy ezek a szabadesés egyenletei, a megoldásuk pedig
\(\displaystyle s(t)=s(0)-\frac{g}2t^2.\)
Kérdés: Milyen magasról ejtsünk le kezdősebesség nélkül egy testet, hogy \(\displaystyle t=\ell\) ,,idő'' alatt érjen le a földre? A válasz ismert: \(\displaystyle s(0)=\dfrac{g}{2}\ell^2\), vagyis a hővezetési probléma megoldása:
\(\displaystyle T(x=0)=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Dercsényi Bence, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Molnár Kristóf. 4 pontot kapott: Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző.
A KöMaL 2023. februári fizika feladatai