A P. 5471. feladat (2023. február)

P. 5471. Három egyforma, $\displaystyle R$ sugarú, $\displaystyle m$ tömegű jéghengert készítünk, és azokat az ábrán látható helyzetből kezdősebesség nélkül elengedjük. A jég felülete nagyon síkos, emiatt a súrlódás mindenhol elhanyagolható.

$\displaystyle a)$ Határozzuk meg és ábrázoljuk vázlatosan az egyik alsó jéghenger mozgási energiáját a felső henger elmozdulásának függvényében!

$\displaystyle b)$ Mekkora sebességgel csapódik a felső jéghenger a talajhoz, és mekkora sebességre gyorsul fel a másik két jéghenger?

Közli: Cserti József, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük azt a helyzetet, amikor az alsó két jéghenger tengelyének távolsága $\displaystyle 2x$, a felső henger tengelye pedig $\displaystyle R+y$ magasságban van (1. ábra). A jéghengerek sebessége $\displaystyle \pm v_x$, illetve $\displaystyle v_y$. Mivel a súrlódás elhanyagolható, a hengerek nem jönnek forgásba. Az indulás pillanatában

$\displaystyle x=R;\qquad y=\sqrt3R\qquad\text{és}\qquad v_x=v_y=0.$

1. ábra

A középső henger (függőleges) elmozdulása így írható:

A felső és bármelyik alsó jéghenger távolsága állandó, vagyis fennáll az

$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=2R$

kényszerfeltétel. Ez a távolság akkor marad időben állandó, ha a sebességek megfelelő komponensei megegyeznek:

$\displaystyle v_y\sin\varphi\left(\equiv v_y \dfrac{y}{2R}\right)=v_x\cos\varphi\left(\equiv v_x\frac{x}{2R}\right),$

tehát

Az energiamegmaradás tétele szerint

$\displaystyle 2\cdot \frac12mv_x^2+\frac12mv_y^2=mgs,$

vagyis (1) és (2) felhasználásával az alsó hengerek valamelyikének mozgási energiája

$\displaystyle E=\frac12mv_x^2=mgR \frac{\sqrt3-(y/R)}{ 1+4(R/y)^2}.$

Vezessük be a $\displaystyle \xi=\frac{y}{R}$ és az $\displaystyle {\cal E}= \dfrac{E}{mgR}$ dimenziótlan változókat (az $\displaystyle s$ elmozdulás $\displaystyle (\sqrt3-\xi)R$ alakban fejezhető ki). Fejezzük ki, majd ábrázoljuk $\displaystyle \cal E$-t $\displaystyle \xi$, illetve $\displaystyle s$ függvényében (2. ábra).

$\displaystyle {\cal E}=\xi^2\frac{\sqrt3-\xi}{4+\xi^2}.$

2. ábra

Az ábrán látszik, hogy csökkenő $\displaystyle \xi$ (vagyis növekvő $\displaystyle s$) mellett $\displaystyle \cal E$-nek $\displaystyle \xi=\xi_0=1{,}056$-nál lokális maximuma van, ennél kisebb $\displaystyle \xi$ értékeknél $\displaystyle \cal E$ (és ezzel arányosan az $\displaystyle E$ mozgási energia) egyre kisebbnek adódik, amint azt a grafikonok piros ága mutatja. Ha ez valóban így történne, akkor a felső jéghenger lassítaná az alsó hengereket, vagyis az érintkezési pontoknál nem tolná, hanem visszafelé húzná azokat. Ez nyilván nem lehetséges, hanem a hengerek elválnak egymástól, és a két alsó henger szabadon mozogva megtartja a mozgási energiáját (lásd a grafikonok zöld ágát), és $\displaystyle v_\text{x,max}$ sebességgel fognak mozogni még akkor is, amikor a középső henger a talajhoz csapódik. Ez a sebesség

$\displaystyle v_\text{x,max}=\sqrt{\dfrac{2E_\text{max}}{m}}= \sqrt{\dfrac{2mgR{\cal E}_\text{max}}{m}}=0{,}54\sqrt{Rg}.$

A függőlegesen lefelé mozgó henger maximális mozgási energiáját ugyancsak az energiamegmaradás törvényéből kaphatjuk meg:

$\displaystyle \frac12mv_\text{y,max}^2=\sqrt3 mgR-2E_\text{max}= (\sqrt3-2\cdot 0{,}147)mgR,$

ahonnan

$\displaystyle v_\text{y,max}=1{,}69\sqrt{Rg}.$

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Schmercz Blanka.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. februári fizika feladatai