A P. 5476. feladat (2023. március)

P. 5476. Három egyforma, $\displaystyle A$ területű fémlemezt helyezünk el egymással párhuzamosan. A lemezek közötti távolság kicsi a lemezek méretéhez képest.

$\displaystyle a)$ Mekkora az elektromos térerősség a lemezek között, ha a bal oldali lemezre $\displaystyle +Q$, a középsőre $\displaystyle +2Q$, a jobb oldalira pedig $\displaystyle +3Q$ töltést juttatunk?

$\displaystyle b)$ Mekkora az elektromos térerősség a lemezek között, ha a bal oldali lemezre $\displaystyle +Q$, a középsőre $\displaystyle -2Q$, a jobb oldalira pedig $\displaystyle +3Q$ töltést juttatunk?

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során a széleffektusoktól mindig eltekintünk. Ismeretes (a Gauss-tétel alapján belátható), hogy amennyiben két párhuzamos, egymáshoz közel fekvő, sík fémlemez egyikének $\displaystyle +Q$, másikának $\displaystyle -Q$ töltést adunk, akkor az ellentétes előjelű töltések a lemezek belső oldalán helyezkednek el, és a lemezek közötti térben $\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{A}$ nagyságú, homogén, a lemezekre merőleges irányú elektromos teret eredményeznek, ahol $\displaystyle \varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}$ a vákuum dielektromos állandója (permittivitása), $\displaystyle A$ a lemezek területe, továbbá $\displaystyle k$ a Coulomb-törvényben szereplő állandó.

A megoldásban kihasználjuk, hogy elektrosztatikus esetben a fémek belsejében a térerősség nulla, így a lemezek szemben lévő belső felületein ugyanakkora nagyságú pozitív és ugyanakkora negatív töltéseknek kell egymással ,,szembenézniük''. Ha összetoljuk a lemezeket, akkor a belső felületeken lévő töltések kioltják egymást, és csak a külső felületeken marad töltés, mindkét oldalon ugyanannyi, mégpedig a rendszer teljes eredő töltésének fele-fele. Ha újra széthúzzuk a lemezeket, akkor a belső felületeken nem marad töltés, viszont amennyiben a belső felületekre $\displaystyle +q$ és $\displaystyle -q$ töltéseket helyezünk, akkor ez nem befolyásolja a külső felületeken lévő töltéseket.

A fentiek alapján már gyorsan eljuthatunk a megoldásig. Az $\displaystyle a)$ esetben az össztöltés $\displaystyle Q+2Q+3Q=6Q$, vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán $\displaystyle +3Q$ töltés helyezkedik el. Ha a $\displaystyle +Q$ töltést a bal oldali lemezre juttattuk, és a rendszert összerakva ennek külső oldalára $\displaystyle +3Q$ töltés kerül, akkor a lemez belső oldalának $\displaystyle -2Q$ töltésűnek kell lenni. Eszerint a középső lemez bal oldalára $\displaystyle +2Q$ jut, és a bal oldali térrészben a térerősség balra mutat, nagysága pedig $\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}$. A középső lemez jobb oldálára ezek után már nem jut töltés, ott a térerősség 0. Ez egybevág azzal, hogy a jobb oldali lemez $\displaystyle 3Q$ töltése teljes mértékben a külső felületre kerül.

A $\displaystyle b)$ esetben az össztöltés $\displaystyle Q-2Q+3Q=2Q$, vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán $\displaystyle +Q$ töltés helyezkedik el. Ilyenkor a bal oldali lemez belső felületére nem jut töltés, a bal oldali térrészben lesz a térerősség 0. A középső lemez teljes $\displaystyle -2Q$ töltése a jobb oldalára kerül, és így a jobb oldali térrészben $\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}$ nagyságú térerősség lesz, ami az $\displaystyle a)$ esettel megegyezően balra mutat.

Megállapíthatjuk tehát, hogy az $\displaystyle a)$ és a $\displaystyle b)$ esetben a lemezek közötti térrészekben a térerősség szinte ugyanolyan lesz, a különbség csak annyi, hogy az $\displaystyle a)$ esetben a bal oldali térrészben lesz elektromos mező, a jobb oldaliban nem, míg a $\displaystyle b)$ esetben csak a jobb oldaliban lesz elektromos tér (nagyság és irány szerint ugyanakkora, mint az $\displaystyle a)$ esetben). A két eset között a külső térben van különbség, mert az $\displaystyle a)$ esetben a lemezeken kívüli tér háromszor akkora, mint a $\displaystyle b)$ esetben.

Megjegyzés: A feladatot a szuperpozíciós elv és a töltésmegmaradás segítségével is megoldhatjuk. Egy $\displaystyle Q/A$ felületi töltéssűrűségű síklap mindkét oldalán $\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{2A}$ nagyságú és ellentétes irányú a térerősség. Az egyes síkokon lévő töltések által keltett elektromos tereknek úgy kell szuperponálódniuk, hogy a fémlemezek belsejében nulla térerősséget eredményezzenek.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barna Márton, Bogdán Benedek, Csiszár András, Csornai-Metz Mátyás , Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Halász Henrik, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Szabó Zsombor, Tatár Ágoston, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	Beke Botond, Csernyik Péter, Dandé Márk Bence, Hegedűs Máté Miklós, Kis Márton Tamás.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai