A P. 5498. feladat (2023. május)

P. 5498. Egy $\displaystyle \alpha$ hajlásszögű, $\displaystyle h$ magas éket könnyen gördülő, az ékkel együtt $\displaystyle M$ tömegű kocsira rögzítettünk. Az ék alján egy $\displaystyle m\ll M$ tömegű test nyugszik. A kis testet úgy szeretnénk feljuttatni az ék tetejéig, hogy az éket állandó nagyságú, vízszintes erővel gyorsítjuk.

$\displaystyle a)$ Legalább mekkora munkát kell végezzünk eközben, ha a súrlódás elhanyagolható?

$\displaystyle b)$ A legkisebb munkavégzés esetén mekkora erővel hatunk az ékre és mennyi idő alatt emelkedik a kis test $\displaystyle h$ magasságra?

Adatok: $\displaystyle h=1$ m; $\displaystyle M=1$ kg; $\displaystyle \alpha=30^\circ$.

Közli: Holics László, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az ékre ható erőt $\displaystyle F$-fel, a gyorsulását $\displaystyle A$-val, a kis testnek az ékhez viszonyított, felfelé irányított gyorsulását pedig $\displaystyle a$-val.

A lejtő csak a síkjára merőleges erőt tud kifejteni a kis testre, így annak mozgásegyenlete a lejtő esésvonalának irányában:

$\displaystyle mg\sin\alpha=m(A\cos\alpha-a),$

vagyis

Az ék mozgásegyenlete:

mert a kis test tömege elhanyagolhatóan kicsi. (Érdekes, hogy az (1) egyenlet annak ellenére hasznos információt hordoz, hogy a kis test tömege majdnem nulla.)

A mozgás idejét a

egyenletből számíthatjuk ki.

$\displaystyle a)$ Az ék (és a kis test) gyorsítása közben végzett munka

$\displaystyle W=F\cdot \frac{A}{2}t^2,$

ami (1), (2) és (3) alapján

Ennek a kifejezésnek keressük legkisebb érétket az $\displaystyle a$ gyorsulás függvényében. (4) zárójeles kifejezésének utolsó tagja nem függ $\displaystyle a$-tól, az első kettő összege pedig (a számtani-mértani egyenlőtlenség szerint)

$\displaystyle \frac1{\cos^2\alpha}\cdot a+\frac{g^2\tg^2\alpha}{\sin\alpha}\cdot \frac1a\ge 2\sqrt{\frac1{\cos^2\alpha}\cdot a\cdot \frac{g^2\tg^2\alpha}{a}} = 2g\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}.$

Így tehát

$\displaystyle W\ge \frac{4Mgh}{\cos^2\alpha}=52{,}3\ \rm J.$

(Ez a munka többszöröse annak, mintha az éket és a kocsit $\displaystyle h$ magasságba emeltük volna; ez tehát nem éppen energiatakarékos módja egy elhanyagolható tömegű test megemelésének.)

A legkisebb munkavégzés

$\displaystyle a=g\sin\alpha$

gyorsulás mellett valósul meg (ekkor egyenlő a számtani középben szereplő két tag).

$\displaystyle b)$ A legkisebb munkavégzés esetén kifejtendő erő:

$\displaystyle F=2Mg\tg\alpha\approx 11{,}3\ \rm N,$

a mozgás ideje

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\sin\alpha}\approx 0{,}9\ \rm s,$

az átlagteljesítmény pedig

$\displaystyle P=\frac{W}{t}\approx 58\ \rm W.$

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bodré Zalán, Halász Henrik, Tárnok Ede .
5 pontot kapott:	Fehérvári Donát.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2023. májusi fizika feladatai