 |
A P. 5498. feladat (2023. május) |
P. 5498. Egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű, \(\displaystyle h\) magas éket könnyen gördülő, az ékkel együtt \(\displaystyle M\) tömegű kocsira rögzítettünk. Az ék alján egy \(\displaystyle m\ll M\) tömegű test nyugszik. A kis testet úgy szeretnénk feljuttatni az ék tetejéig, hogy az éket állandó nagyságú, vízszintes erővel gyorsítjuk.
\(\displaystyle a)\) Legalább mekkora munkát kell végezzünk eközben, ha a súrlódás elhanyagolható?
\(\displaystyle b)\) A legkisebb munkavégzés esetén mekkora erővel hatunk az ékre és mennyi idő alatt emelkedik a kis test \(\displaystyle h\) magasságra?
Adatok: \(\displaystyle h=1\) m; \(\displaystyle M=1\) kg; \(\displaystyle \alpha=30^\circ\).
Közli: Holics László, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az ékre ható erőt \(\displaystyle F\)-fel, a gyorsulását \(\displaystyle A\)-val, a kis testnek az ékhez viszonyított, felfelé irányított gyorsulását pedig \(\displaystyle a\)-val.
A lejtő csak a síkjára merőleges erőt tud kifejteni a kis testre, így annak mozgásegyenlete a lejtő esésvonalának irányában:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=m(A\cos\alpha-a),\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle A=\frac{a}{\cos\alpha}+g\tg\alpha.\) |
Az ék mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle F=MA,\) |
mert a kis test tömege elhanyagolhatóan kicsi. (Érdekes, hogy az (1) egyenlet annak ellenére hasznos információt hordoz, hogy a kis test tömege majdnem nulla.)
A mozgás idejét a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle h=\frac{a\sin\alpha}{2}t^2 \) |
egyenletből számíthatjuk ki.
\(\displaystyle a)\) Az ék (és a kis test) gyorsítása közben végzett munka
\(\displaystyle W=F\cdot \frac{A}{2}t^2,\)
ami (1), (2) és (3) alapján
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle W=MA^2\frac{h}{a\sin\alpha}= \frac{Mh}{\sin\alpha}\left(\frac1{\cos^2\alpha}\cdot a+ \frac{g^2\tg^2\alpha}{a} +2g\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha} \right).\) |
Ennek a kifejezésnek keressük legkisebb érétket az \(\displaystyle a\) gyorsulás függvényében. (4) zárójeles kifejezésének utolsó tagja nem függ \(\displaystyle a\)-tól, az első kettő összege pedig (a számtani-mértani egyenlőtlenség szerint)
\(\displaystyle \frac1{\cos^2\alpha}\cdot a+\frac{g^2\tg^2\alpha}{\sin\alpha}\cdot \frac1a\ge 2\sqrt{\frac1{\cos^2\alpha}\cdot a\cdot \frac{g^2\tg^2\alpha}{a}} = 2g\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}.\)
Így tehát
\(\displaystyle W\ge \frac{4Mgh}{\cos^2\alpha}=52{,}3\ \rm J.\)
(Ez a munka többszöröse annak, mintha az éket és a kocsit \(\displaystyle h\) magasságba emeltük volna; ez tehát nem éppen energiatakarékos módja egy elhanyagolható tömegű test megemelésének.)
A legkisebb munkavégzés
\(\displaystyle a=g\sin\alpha\)
gyorsulás mellett valósul meg (ekkor egyenlő a számtani középben szereplő két tag).
\(\displaystyle b)\) A legkisebb munkavégzés esetén kifejtendő erő:
\(\displaystyle F=2Mg\tg\alpha\approx 11{,}3\ \rm N,\)
a mozgás ideje
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\sin\alpha}\approx 0{,}9\ \rm s,\)
az átlagteljesítmény pedig
\(\displaystyle P=\frac{W}{t}\approx 58\ \rm W.\)
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bencz Benedek, Bodré Zalán, Halász Henrik, Tárnok Ede . 5 pontot kapott: Fehérvári Donát. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2023. májusi fizika feladatai