 |
A P. 5499. feladat (2023. szeptember) |
P. 5499. Marci egy lejtőn csúszik le szánkójával a friss havon. Röviddel az indulását követően, egymás után négy darab szaloncukor esik ki a zsebéből (elhanyagolható magasságból) a hóra. A csúszás közben Marci a mobiltelefonja segítségével \(\displaystyle 2{,}1~\mathrm{m/s}^2\)-nek mérte a szánkó gyorsulását, és \(\displaystyle 23^\circ\)-osnak a lejtő hajlásszögét. Később a cukorkák közti távolságot is meghatározta, mely az első kettő között 2, a második és a hamadik között \(\displaystyle 3{,}2\); a harmadik és negyedik között pedig \(\displaystyle 4{,}4\) méternek adódott.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a súrlódási együttható a szánkó és a hó között?
\(\displaystyle b)\) Igazoljuk, hogy a szaloncukrok egyenlő időközönként estek ki a fiú zsebéből!
Közli: Kis Tamás, Heves
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A szánkó gyorsulását \(\displaystyle a\)-val, a lejtő hajlásszögét \(\displaystyle \alpha\)-val, a súrlódási együtthatót pedig \(\displaystyle \mu\)-vel jelölve
\(\displaystyle a=g(\sin{\alpha}-\mu\cos{\alpha}),\qquad{\textrm{azaz}}\qquad \mu=\frac{\sin\alpha-a/g}{\cos\alpha}. \)
Ez adatainkkal: \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
\(\displaystyle b)\) Egy álló helyzetből induló, egyenletesen gyorsuló objektum az indulástól mért
\(\displaystyle t_n=t_1+(n-1)\Delta t\qquad (n=1,\ 2,\ 3, ...)\)
idők alatt
\(\displaystyle s_n=\frac{1}{2}at_n^2 \)
utakat fut be. Eszerint
\(\displaystyle s_{n+1}-s_n=\frac{1}{2}a(t_{n+1}+t_n)(t_{n+1}-t_n)=\frac{1}{2}a\Delta{t}\left(2t_1+(2n-1)\Delta{t}\right), \)
tehát az útkülönbségek egy olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek \(\displaystyle d\) differenciája (az egymást követő tagok különbsége)
\(\displaystyle d=a(\Delta{t})^2. \)
A lepottyant szaloncukrok közötti három távolság egy (\(\displaystyle d=1{,}2\ \textrm{m}\) differenciájú) számtani sorozat három egymást követő tagja, tehát a szaloncukrok valóban egyenlő időközönként estek le. (Az adatokból behelyettesítéssel azt is megkapjuk, hogy \(\displaystyle \Delta{t}\approx 0{,}8\ \textrm{s}\), és az első szaloncukor az indulás után \(\displaystyle t_1=0{,}9\ \)s-mal esett le.)
Statisztika:
85 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Alexandrova Angelina, Barna Márton, Beke Botond, Bocor Gergely, Csapó András, Czifrik Laura, Daniils Koselevs, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Éger Viktória, Fercsák Flórián, Gyerő Soma, Illés Gergely Levente, Kátai Ferdinánd, Kávai Ádám, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Medgyesi Júlia, Molnár Zétény, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tibor Varga, Žigo Boglárka. 3 pontot kapott: Bánkuti Bálint, Boér Panna Rita, Czirják Márton Pál, Flóring Balázs, Márfai Dóra, Molnár Ábel, Monok Péter, Rózsa Laura Enikő , Soham Bhadra, Szécsényi-Nagy Rudolf, Zámbó Luca. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 18 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai