A P. 5502. feladat (2023. szeptember)

P. 5502. Vízben elsüllyedt teherhajó szállítmányának mentése során egy gránit szobortalapzatot emeltek ki hajódaru segítségével, egyenletes 0,2 m/s-os állandó sebességgel a 4 m mély vízből. A tömör, \(\displaystyle 2750~\mathrm{kg/m}^3\) sűrűségű gránitból álló talapzat négyzet alapú egyenes hasáb, magassága 2 m, alapéle 1,5 m, és kezdetben a folyómeder alján a négyzet alakú lapján nyugszik. A gránittömböt addig emelik, míg alsó lapja a vízfelszíntől számított 3 m magasságba kerül. Emelés közben a hosszabbik élei állandóan függőleges pozícióban maradnak.

\(\displaystyle a)\) Mennyi munkát kell végezni a teljes emelési folyamat alatt?

\(\displaystyle b)\) Hogyan változott az emelődaru teljesítménye az emelés folyamán?

Tarján Imre Országos Emlékverseny, Szolnok

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során nem vesszük figyelembe a talán nem elhanyagolható súrlódási és közeg­ellenállási veszteségeket, főleg azért, mert nem tudunk róluk semmit. Ezért az eredményül kapott munka és teljesítmény értékek valójában alsó korlátok.

\(\displaystyle a)\) Legalább annyi munkát kell végezni, amennyivel a gránittömb és a kiszorított víz együttes helyzeti energiája megnő. A

\(\displaystyle 2\,\textrm{m}\cdot1{,}5\,\textrm{m}\cdot1{,}5\,\textrm{m}= 4{,}5\,\textrm{m}^3\)

térfogatú tömb súlypontja 7 m-t emelkedik, miközben ugyanannyi térfogatú víz a felszínről a tömb helyére kerül, súlypontja 3 m-t süllyed (1. ábra).

\(\displaystyle W=7\,\textrm{m}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 2750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2- 3\,\textrm{m}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 1000\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=717\,\textrm{kJ}.\)

1. ábra

\(\displaystyle b)\) Az emelés \(\displaystyle \frac{7\,\textrm{m}}{ 0{,}2\,\textrm{m/s}}=35\ \textrm{s}\)-ig tart. Az első 10 másodpercben az egész tömb víz alatt van, utána 10 másodpercig részben, az utolsó 15 másodpercben pedig teljesen a víz fölött. A harmadik időtartományban a kiemeléshez szükséges teljesítmény állandó (sebesség\(\displaystyle \times\)erő):

\(\displaystyle P_3=0{,}2\,\textrm{m/s}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 2750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=24{,}3\,\textrm{kW}.\)

Az első időtartományban (a felhajtóerőt is figyelembe véve) a teljesítmény:

\(\displaystyle P_1=0{,}2\,\textrm{m/s}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 1750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=15{,}5\,\textrm{kW}.\)

A középső időtartományban egyenletesen (lineárisan) változik a két érték között. Ha az időt a vízből kiemelkedés kezdetétől mérjük, a teljesítmény az idő függvényében:

\(\displaystyle P_2=P_1+(P_3-P_1)\,{\frac{t}{10\,\textrm{s}} }.\)

A teljesítmény időfüggése a kiemelés alatt a 2. ábrán látható.

2. ábra

Statisztika:

88 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Alexandrova Angelina, Bánkuti Bálint, Bencze Mátyás, Bogdán Benedek, Csapó András, Csiszár András, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Fajszi Karsa, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Kis Márton Tamás, Kovács Benedek Noel, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Molnár Ábel, Molnár Kristóf, Muraközi Péter, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Török Hanga, Vágó Botond, Vödrös Dániel László, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
3 pontot kapott:	Balogh Krisztián, Beke Botond, Benes András, Bordás-Fehér Márton, Bunford Luca, Czifrik Laura, Daniils Koselevs, Éger Viktória, Fehérvári Donát, Fercsák Flórián, Gyerő Soma, Illés Gergely Levente, Klement Tamás, Labádi Balázs, Lincoln Liu, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Saller Bálint , Simon János Dániel, Zámbó Luca, Zólomy Csanád Zsolt.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai