A P. 5505. feladat (2023. szeptember)

P. 5505. Egy szobában a mennyezeten egy ötágú csillár világít, az íróasztalon egy szimmetrikus, mindkét oldalán domború kézinagyító fekszik. A nagyítóra pillantva a csillár két különböző nagyítású és tájolású képét láthatjuk.

$\displaystyle a)$ Hogyan jön létre a két kép?

$\displaystyle b)$ Merre állnak a csillár karjai a valóságban?

Közli: Baranyai Klára, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A két képet a nagyító két felületén visszaverődött fénysugarak hozzák létre. A lencse felső felülete domború tükörnek tekinthető, az általa létrehozott kép egyenes állású látszólagos kép a lencse alatt. A másik képet létrehozó sugarak először áthaladnak a lencsén, visszaverődnek a leképezés szempontjából homorú tükörnek tekintendő alsó felületen, majd újra átmennek a nagyító üvegén. Az így keletkező kép fordított állású valódi kép a lencse fölött. A fényképen nem látszik, hogy melyik kép hol helyezkedik el, de egy modell-számítással el tudjuk dönteni, melyik lehet a valódi, illetve a látszólagos kép. Legyen a felületek sugara $\displaystyle R$, a nagyító fókusztávolsága $\displaystyle f$, és tegyük fel, hogy a két leképezésben résztvevő sugarak kis szöget zárnak be a nagyító optikai tengelyével! Jelöljük a csillár távolságát a lencsétől $\displaystyle t$-vel, a két képtávolságot pedig $\displaystyle k_1$-gyel és $\displaystyle k_2$-vel! A lencse alatt keletkező virtuális kép esetében (igazodva a szokásos előjel konvencióhoz, és felhasználva, hogy a gömbtükrök fókusztávolsága $\displaystyle R/2$)

$\displaystyle \frac{1}{t}-\frac{1}{\left\vert k_1\right\vert}=-\frac{2}{R}.$

A másik kép esetén használnunk kell, hogy a fény útjába eső leképező eszközök dioptriái (a fókusztávolságok reciprokai) összeadódnak, és hogy az üvegen kétszer is átmegy a fény.

$\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k_2}=\frac{2}{R}+\frac{2}{f}.$

A két egyenletet összeadva és átrendezve

$\displaystyle \left\vert k_1\right\vert-k_2=\left(\left\vert k_1\right\vert k_2\right)\left(\frac{2}{f}-\frac{2}{t}\right).$

Mivel a csillár távolsága jóval nagyobb, mint a nagyító fókusztávolsága, azaz $\displaystyle t\gg f$, a jobb oldal biztos pozitív, így

$\displaystyle \left\vert k_1\right\vert>k_2.$

Ugyanígy aránylik egymáshoz a megfelelő két kép nagysága is, azaz

$\displaystyle K_1>K_2,$

és ez igaz akkor is, ha a leképezésben részt vevő sugarak – mint az esetünkben – nagyobb szöget zárnak be a nagyító tengelyével. Tehát a lencse alatt keletkező egyenes állású, látszólagos kép a nagyobb, és ez mutatja helyesen, hogyan állnak a csillár karjai.

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Tóth Kolos Barnabás.
4 pontot kapott:	Gerendás Roland, Halász Sámuel, Tóth Hanga Katalin, Žigo Boglárka.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai