 |
A P. 5506. feladat (2023. szeptember) |
P. 5506. Tekintsük az elektront kicsiny, homogén tömegeloszlású, felületén egyenletesen töltött gömbnek úgy, hogy a tömeg-energia ekvivalenciából számított energiája egyezzen meg az elektron körüli elektrosztatikus tér energiájával.
\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg a fenti módon az elektron sugarát, amit klasszikus elektronsugárnak neveznek!
\(\displaystyle b)\) Az elektron feles spinű részecske, mert saját perdülete a \(\displaystyle \hbar\equiv h/2\pi\) redukált Planck-állandónak éppen a fele: \(\displaystyle \hbar/2\). Tekintsük az elektron saját perdületét a klasszikus newtoni mechanika alapján úgy, ahogy egy, a középpontján átmenő tengely körül forgó, homogén gömb perdületét szokás. Határozzuk meg a forgó klasszikus elektron ``egyenlítőjének'' a kerületi sebességét! Hasonlítsuk össze ezt a fénysebességgel!
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. október 16-án LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\)
\(\displaystyle mc^2=\frac12 k \frac{e^2}{r}, \quad \text{ahonnan} \quad r=\frac{ke^2}{2mc^2}=1{,}4\cdot 10^{-15}\,\textrm{m}. \)
Megjegyzések:
- Az elektron körüli tér elektrosztatikus energiáját például úgy kaphatjuk meg egyszerűen, ha a gömbkondenzátor energiájának a képletét (\(\displaystyle QU/2\)) alkalmazzuk, és \(\displaystyle U\) helyére \(\displaystyle k Q/r\)-et írunk, \(\displaystyle Q\) helyére pedig az \(\displaystyle e\) elemi töltést.
- A fenti eredmény annak felel meg, hogy az elektrongolyó töltése a felületén helyezkedik el, tehát a gömb belsejében a térerősség nulla. Ha figyelembe vesszük, hogy a gömb belsejében is van tér, és egyenletes térfogati töltéssűrűséget feltételezünk (továbbá az elektron anyag ,,relatív dielektromos állandóját'' 1-nek tekintjük), akkor valamivel nagyobb klasszikus elektronsugarat kapunk:
\(\displaystyle r=\frac{3ke^2}{5mc^2}. \)
Mivel a képletben szereplő számfaktor nem egyértelmű, viszont 1-hez eléggé közeli, ezért szokás volt a számfaktort elhagyni, vagyis az elektron klasszikus sugarát így meghatározni:
\(\displaystyle r=\frac{ke^2}{mc^2}=2{,}8\cdot 10^{-15}\,\textrm{m}. \)
\(\displaystyle b)\)
\(\displaystyle N=\frac{\hbar}{2}=\Theta \omega =\frac25 mr^2 \frac{v}{r}, \quad \text{vagyis} \quad v=\frac{5\hbar}{4mr}= 10^{11}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}. \)
Ez a sebesség a fénysebességnek több mint 300-szorosa (!) lenne.
Megjegyzés. A feladat arra mutat rá, hogy a klasszikus elektronsugár értelmetlen mennyiség, ma már csak fizikatörténeti érdekességként tartják számon.
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Aklan Larion, Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Csapó András, Csernyik Péter, Csóka Péter, Czifrik Laura, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Gerendás Roland, Illés Gergely Levente, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Süveg Janka Villő, Tárnok Ede , Vágó Botond, Varga 802 Zsolt, Yiu Sing, Lee. 3 pontot kapott: Tóth Kolos Barnabás.
A KöMaL 2023. szeptemberi fizika feladatai