 |
A P. 5508. feladat (2023. október) |
P. 5508. Egy autó álló helyzetből indulva egyenletesen felgyorsul \(\displaystyle v_0\) sebességre. A gyorsítási pályaszakaszon sűrűn, egyenletes távolságokra sebességmérőket telepítettek. Mekkora a sebességmérők által mutatott értékek átlaga?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a pályaszakasz hossza \(\displaystyle L\), az autó gyorsulása pedig \(\displaystyle a=\frac{v_0^2}{2L}.\) Ha a pálya mentén \(\displaystyle N\) számú (\(\displaystyle N\gg1\)) sebességmérőt helyeztek el, akkor ezek távolsága \(\displaystyle L/N\). Számozzuk meg a sebességmérőket a startvonaltól kiindulva, így a \(\displaystyle k\)-adik mérő távolsága az indítási helytől
\(\displaystyle s_k=k\frac{L}{N},\)
az ott elhaladó autó sebessége pedig
\(\displaystyle v_k=\sqrt{2as_k}=\sqrt{2\cdot\frac{v_0^2}{2L}\cdot k\frac{L}{N}}=v_0\sqrt{\frac{k}{N}}.\)
A mért sebességek átlaga
\(\displaystyle \overline{v}=v_0\left(\frac1{N}\sum_{k=1}^N\sqrt{\frac{k}{N}}\right). \)
A zárójelben álló kifejezés szemléletes geometriai jelentése: közelítőleg megegyezik az \(\displaystyle y=\sqrt{x}\) függvénynek a \(\displaystyle 0\le x\le 1\) intervallumon vett görbe alatti területével (lásd az 1. ábrát).
1. ábra
Ezt a \(\displaystyle T\) területet pl. integrálszámítás segítségével ki lehet számítani (az eredmény: \(\displaystyle T=\tfrac23)\), de elemi úton is meghatározható.
A görbe alatti terület és a görbe feletti (a fekvő parabola és az \(\displaystyle y=1\) egyenes közötti) terület összege nyilván 1. Ha tehát kiszámítjuk a görbe feletti \(\displaystyle 1-T\) terület nagyságát, a számunkra fontos másikat is megkapjuk.
Tükrözzük az 1. ábrát az \(\displaystyle y=x\) egyenesre, vagyis cseréljük fel az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) változókat (2. ábra).
2. ábra
Ezt a területet is téglalapok területének összegével közelíthetjük. (Ha \(\displaystyle N\gg 1\), akkor a közelítés pontosnak mondható.)
\(\displaystyle 1-T=\frac1{N}\sum_{k=1}^N \left(\frac{k}{N}\right)^2=\frac1{N^3}\sum_{k=1}^N k^2.\)
Ismert az első \(\displaystyle N\) egész szám négyzetösszege:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^N k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.\)
Ezek szerint
\(\displaystyle T\approx 1-\frac13\left(1+\frac{1}{N}\right) \left(1+\frac{1}{2N}\right),\)
vagyis \(\displaystyle N\gg1\) miatt
\(\displaystyle T\approx1-\frac13=\frac23,\)
és így a keresett átlagsebesség \(\displaystyle \frac23v_0\).
Statisztika:
68 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Alexandrova Angelina, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Farkas 145 László, Fehérvári Donát, Gyenes Károly, Hüvös Gergely, Képes Botond, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Barna Márton, Bunford Luca, Csapó András, Debreceni Dániel, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fórizs Borbála, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Masa Barnabás, Molnár Ábel, Vincze Farkas Csongor. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. októberi fizika feladatai