A P. 5516. feladat (2023. október)

P. 5516. Egy vízszintes tengely körül megpörgetett pingponglabda függőlegesen az asztallapra esik. A vékony gömbhéjnak tekinthető labda tömege $\displaystyle m$ , sugara $\displaystyle R$ , sebessége a leérkezéskor $\displaystyle v_0$ , szögsebessége $\displaystyle \omega_0=v_0/R$ , tehetetlenségi nyomatéka $\displaystyle \Theta=\frac23 mR^2$ . A csúszási és a tapadási súrlódási együttható egyaránt $\displaystyle \mu$ . Tekintsük az ütközést pillanatszerűnek és tökéletesen rugalmasnak (azaz legyen a labda tömegközépponti sebességének asztalra merőleges vetülete ütközés előtt és után azonos nagyságú).

Mekkora és milyen irányú lesz a labda sebessége az ütközés után? Mekkora lesz a szögsebessége?

Közli: Balogh Péter, Gödöllő

(A nyomtatott szövegben az egyik képlet hibásan jelent meg, helyesen $\displaystyle \omega_0=v_0/R$ .)

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az 1. ábra az ütközés előtti $\displaystyle (a)$ pillanatot, az ütközéskor fellépő erőket $\displaystyle (b)$ , és végül az ütközést követő pillanatot $\displaystyle (c)$ mutatja.

1. ábra

Az ütközés ,,pillanatszerű'' (valójában nagyon rövid idő alatt végbemenő) folyamat. A súrlódási erő időben gyorsan változó, de csak nagyon rövid ( $\displaystyle \Delta t$ ) ideig fellépő $\displaystyle S(t)$ függvénnyel adható meg. ( $\displaystyle S(t)$ konkrét alakjára nem lesz szükségünk.) Ezt az erőlökést

$\displaystyle I_S\equiv \overline{S(t)}\cdot \Delta t$

módon lehetne kiszámítani (a felülvonás az időbeli átlagértéket jelöli). Newton törvénye szerint az erőlökés a lendületváltozással egyezik meg:

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle I_S=mv_x,$

ahol $\displaystyle v_x$ a pingponglabda sebességének vízszintes komponense az ütközés után.

Az ütközés során az asztallap valamekkora $\displaystyle N(t)$ nagyságú, függőlegesen felfelé irányuló erővel nyomja a labdát, és ez

$\displaystyle I_N\equiv \overline{N(t)}\cdot \Delta t$

erőlökést eredményez. (Mivel az ütközés ,,pillanatszerű'', $\displaystyle \overline{N(t)}\gg mg$ , a labdára ható nehézségi erőt tehát az ütközés alatt elhanyagolhatjuk.) A labda függőleges ( $\displaystyle y$ irányú) sebessége az ütközés során $\displaystyle v_y=-v_0$ -ról $\displaystyle +v_0$ -ra változik, tehát

$\displaystyle (2)$

$\displaystyle I_N=2mv_0.$

A súrlódási erő hatására a labda szögsebessége a kezdeti $\displaystyle \omega_0$ -ról valamekkora $\displaystyle \omega$ -ra csökken. A labdára ható erők hatásvonalai az ütközés $\displaystyle P$ pontjára illeszkednek, így erre a pontra nézve nincs forgatónyomatékuk. A forgómozgás törvényei szerint tehát a labda $\displaystyle P$ pontra vonatkoztatott perdülete (ami egyrészt a labda forgásából, másrészt a tömegközépponjának mozgásából származik) az ütközés során változatlan marad:

$\displaystyle (3)$

$\displaystyle \Theta \omega_0=\Theta \omega+mv_xR.$

Megjegyzés. Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy az (1)-ből kiszámított $\displaystyle I_S$ erőlökésnek a pingponglabda tömegközéppontjára vonatkoztatott forgatónyomatékát a perdületváltozással tesszük egyenlővé:

$\displaystyle I_SR=mv_xR=-\Theta(\omega-\omega_0).$

Tudjuk még, hogy mindaddig, amíg a labda csúszik az asztalon, minden pillanatban fennáll: $\displaystyle S(t)=\mu N(t)$ , és így

$\displaystyle \overline{S(t)}=\mu \overline{N(t)}.$

A továbbiakban két esetet különböztethetünk meg.

I. eset. A súrlódási együttható nem túl nagy, vagyis nem halad meg egy bizonyos (később kiszámítandó) ,,kritikus értéket'' ( $\displaystyle \mu<\mu_\text{krit.}$ ), és emiatt a labda az ütközés során mindvégig csúszik az asztalon. Ilyenkor az erőlökések is ugyanolyan arányban állnak egymással, mint a pillanatnyi erőnagyságok, vagyis

$\displaystyle (4)$

$\displaystyle I_S=\mu I_N.$

Az (1), (2) és (4) egyenletek szerint a labda középpontjának sebessége az ütközés után:

$\displaystyle v_x=2\mu\,v_0,$

a szögsebessége pedig (3) szerint

$\displaystyle \omega=(1-3\mu)\frac{v_0}{R}.$

A folyamatos csúszás feltétele: $\displaystyle R\omega>v_x$ , ami

$\displaystyle \mu<\frac15=\mu_\text{krit.}$

esetén teljesül.

II. eset. Ha $\displaystyle \mu>\frac15$ , akkor még az ütközés vége előtt $\displaystyle v_x$ és $\displaystyle R\omega$ egyenlő nagyságúvá válik, vagyis a labda a továbbiakban már nem csúszik, hanem tisztán gördül az asztalon. Ilyenkor (3) szerint

$\displaystyle (5)$

$\displaystyle v_x=R\omega=\frac25\,v_0.$

Ez a sebesség a továbbiakban nem változik, mert a (tapadási) súrlódási erő hirtelen nullára csökken.

Megjegyzés. Jóllehet a feladat szövege nem kéri az ütközés folyamatának részletes leírását, tanulságos lehet ennek tárgyalása is. A folyamat időbeli lefolyását az asztal és a labda rugalmas tulajdonságaitól függő $\displaystyle N(t)$ erő ismerete nélkül nem tudjuk megadni, de a függőleges irányú $\displaystyle v_y$ sebesség függvényében ki tudjuk számítani a tömegközéppont vízszintes sebességét és a labda kerületi sebességét is. (Ha $\displaystyle N(t)=$ állandó teljesülne, akkor $\displaystyle v_y$ az időnek lineáris függvénye lenne, tehát ez a két változó egy állandó szorzófaktor erejéig megegyezne. A valós helyzet ettől nyilván különböző.)

Jelöljük az ütközés kezdete után $\displaystyle t$ idővel későbbi pillanatban a labda középpontjának sebességkomponenseit $\displaystyle v_x(t)$ -vel és $\displaystyle v_y(t)$ -vel, a szögsebességet $\displaystyle \omega(t)$ -vel, az asztal által $\displaystyle t$ idő alatt kifejtett erőlökés komponenseit pedig $\displaystyle I_N(t)$ -vel és $\displaystyle I_S(t)$ -vel.

A lendületváltozásokra és a perdületmegmaradásra a következő egyenleteket írhatjuk fel:

$\displaystyle (1')$

$\displaystyle I_S(t)=mv_x(t),$

$\displaystyle (2')$

$\displaystyle I_N(t)=mv_y(t)+mv_0,$

$\displaystyle (3')$

$\displaystyle \frac23mR^2\omega_0=mRv_x(t)+\frac23mR^2\omega(t),$

és végül a csúszási szakaszra érvényes

$\displaystyle (4')$

$\displaystyle I_S(t)=\mu I_N(t), \qquad\text{ameddig}\qquad v_x(t)<R\omega(t).$

A fenti egyenletrendszer megoldása $\displaystyle \mu<\mu_\text{krit.}=\frac15$ esetén:

$\displaystyle v_x(t)=\mu v_y(t)+\mu v_0,$

$\displaystyle R\omega(t)=v_0\left(1-\frac{3\mu}{2}\right)-\frac{3\mu}{2}v_y(t).$

Ezek a sebességfüggvények pl. $\displaystyle \mu=0{,}15$ -re a 2. ábrán látható grafikonnal szemléltethetők.

2. ábra

Amennyiben $\displaystyle \mu=0{,}4>\mu_\text{krit.}$ , a labda tömegközéppontjának vízszintes sebessége és a kerületi sebessége már az ütközés befejeződése előtt egyenlővé válik, és ettől a pillanattól kezdve tiszta gördülés esete valósul meg (3. ábra).

3. ábra

Ha $\displaystyle \mu\ge \frac15$ , a labda tömegközéppontjának teljes sebessége az ütközés után

$\displaystyle v=\frac{\sqrt{29}}{5}v_0\approx 1{,}08\,v_0$

nagyságú, és az irányának a a vízszintessel bezárt szöge

$\displaystyle \alpha=\arctg\frac25\approx 68{,}2^\circ.$

Ha viszont $\displaystyle \mu\le\frac15$ , akkor

$\displaystyle v=\sqrt{1+4\mu^2}\cdot v_0\le 1{,}08\,v_0$

és

$\displaystyle \alpha=\arctg\frac1{2\mu}\ge\arctg\frac52\approx 68{,}2^\circ.$

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Bencz Benedek, Csapó András, Fajszi Karsa, Hegedüs Márk, Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt.

4 pontot kapott: 1 versenyző.

3 pontot kapott: 8 versenyző.

2 pontot kapott: 5 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2023. októberi fizika feladatai

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencz Benedek, Csapó András, Fajszi Karsa, Hegedüs Márk, Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?