A P. 5523. feladat (2023. november)

P. 5523. Egy szabályos hatszög alapterületű szoba három szomszédos falát síktükör borítja. A szoba közepén világít egy lámpa. Hány képe keletkezik a lámpának?

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Általános megfontolások a síktükrök képalkotásáról, amelyek nem tartoznak szorosan a feladathoz, de a megoldás megértését segíthetik.

Ha egy (pirosan jelölt) pontszerűnek tekinthető \(\displaystyle L\) lámpa fényének egy része a függőleges \(\displaystyle T\) síktükörre esik, akkor ezek a fénysugarak úgy verődnek vissza, mintha a lámpa a \(\displaystyle T\)-re vonatkoztatott, geometriai értelemben vett tükrözött \(\displaystyle L_1\) pontjából indultak volna ki (1. ábra). (Az ábrán a fénysugarak vízszintes síkra vett vetületét tüntettük fel. Ezen a vetületi képen a tükör egyenes szakasznak látszik.)

1. ábra

Nyilvánvaló, hogy a tükröződésben csak azok a fénysugarak vesznek részt, amelyek ténylegesen elérik a tükröt; ezeket zöld vonalakkal jelöltük. A tükröt elkerülő (pirosan jelölt) fénysugarak irányváltoztatás nélkül haladnak tovább. Ha a visszaverődő (zöld) fénysugarak útjában valahol egy \(\displaystyle M\) megfigyelő tartózkodik és az \(\displaystyle L_1\) pont felé néz, ott a lámpa látszólagos (virtuális) képét látja.

Előfordulhat, hogy a \(\displaystyle T_1\) tükrön visszaverődő fénysugarak egy része egy másik, \(\displaystyle T_2\)-vel jelölt tükörre esik (2. ábra).

2. ábra

Ilyenkor a második tükörről úgy verődnek vissza a fénysugarak, mintha az \(\displaystyle L_1\) virtuális kép \(\displaystyle T_2\)-re vett tükörképéből, az \(\displaystyle L_2\) pontból indultak volna el.

A tükörképet azok a fénysugarak hozzák létre, amelyek ténylegesen elérték a megfelelő tükröt. Az \(\displaystyle M\) pontban álló megfigyelő például mindkét tükörképet lárhatja, ha a fejét megfelelő irányba fordítja. Az \(\displaystyle M_1\) pontbeli szemlélő csak \(\displaystyle L_1\)-et látja, az \(\displaystyle M_2\) pontból pedig egyik tükörképet sem észlelheti.

Az eljárás tovább is folytatható. Ha a \(\displaystyle T_2\) tükörről visszavert sugarak egy része eléri \(\displaystyle T_1\)-et (a 2. ábrán nem ez a helyzet), azok egy harmadik tükörképet hoznak létre és így tovább.

Térjünk most rá az eredeti feladat megoldására. Jelöljük az elrendezésnek valamely vízszintes síkra való vetületén a \(\displaystyle T_1\), \(\displaystyle T_2\) és \(\displaystyle T_3\) jelű tükröket kék, a nem tükröző falakat fekete, az \(\displaystyle L\) lámpát pedig piros színnel (3. ábra).

3. ábra

Vizsgáljuk először a fényforrásból a \(\displaystyle T_1\) tükör felé induló, de a visszaverődésük után másik tükröt már nem érintő fénysugarakat. Ezek a fénysugarak úgy haladnak, mintha az \(\displaystyle L_1\) virtuális képpontból indultak volna el, a szemünk tehát ott látja \(\displaystyle L\) egyik tükörképét (4. ábra). Ezeket a fénysugarakat a megfigyelő a 4. ábra szürkével jelölt tartományából figyelheti meg, amennyiben a \(\displaystyle T_1\) tükör felé tekint.

4. ábra

Vannak olyan fénysugarak, amelyek a \(\displaystyle T_1\) tükörről visszaverődve elérik a \(\displaystyle T_3\) tükröt is. Ezek úgy haladnak tovább, mintha \(\displaystyle L_1\)-nek \(\displaystyle T_3\)-ra vett \(\displaystyle L_{13}\) tükörképéből indultak volna el, tehát alkalmas (az 5. ábra szürkével jelölt) területén álló megfigyelő számára ott is képződik egy virtuális kép, ha a \(\displaystyle T_3\) tükör felé néz. A továbbiakban a kétszer visszaverődött sugarak nem érnek el újabb tükröt.

5. ábra

A fényforrástól a \(\displaystyle T_3\) tükör felé induló fénysugarak útját a 4. és 5. ábrának a jobb és a bal oldalát felcserélve kapjuk. Ezek két újabb látszólagos képet eredményeznek, \(\displaystyle L_3\)-t és \(\displaystyle L_{31}\)-et. (Az indexek balról jobbra olvasva a fényvisszaverődést okozó tükrök sorszámára utalnak.)

A fényforrásból a \(\displaystyle T_2\) tükörre eső fénysugarak úgy verődnek vissza, mintha az \(\displaystyle L_2\) pontból indultak volna, ott tehát a lámpának virtuális képe keletkezik. Ezek a fénysugarak a továbbiakban nem ütköznek tükröző felületbe, mert a tükörmentes falak vagy áteresztik, vagy pedig elnyelik a fényt. Az \(\displaystyle L_2\) képet a szoba bármelyik részén álló \(\displaystyle M\) megfigyelő láthatja, ha a \(\displaystyle T_2\) tükör felé néz (6. ábra).

6. ábra

Összefoglalás. A lámpának összesen 5 tükörképe jelenik meg, ezek a 7. ábrán zöld színnel jelölt pontokban találhatóak. Az ábra jobb oldalán az látható, hogy a tükörszoba különböző részeiből a lámpának hány tükörképe figyelhető meg.

7. ábra

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békei Botond, Bencze Mátyás, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Éger Viktória, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Gerendás Roland, Gyerő Soma, Sütő Áron, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Boér Panna Rita, Hüvös Gergely, Képes Botond, Nguyen Kim Dorka, Varga 802 Zsolt.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi fizika feladatai