A P. 5525. feladat (2023. november)

P. 5525. Egy $\displaystyle r$ sugarú, $\displaystyle \varrho$ fajlagos ellenállású, hosszú, hengeres fémhuzalban $\displaystyle I$ erősségű áram folyik egyenletes eloszlásban. A huzal felületi hőmérséklete állandó $\displaystyle T_0$ értékű. Határozzuk meg a huzal hőmérsékletét a szimmetriatengelyén, ha ismert, hogy a fém hővezetési tényezője $\displaystyle \lambda$!

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az $\displaystyle \ell$ hosszúságú vezetéknek $\displaystyle x$ sugarú belső magját ($\displaystyle 0<x<r$), és számítsuk ki, mennyi hő fejlődik egységnyi idő alatt ebben a térrészben. Az áramerősség ebben a belső magban:

$\displaystyle I(x)=I\frac{x^2}{r^2},$

az ellenállása pedig

$\displaystyle R(x)=\varrho\frac{\ell}{x^2\pi}.$

A hőtermelés teljesítménye:

$\displaystyle P(x)=I(x)^2\cdot R(x)=\cfrac{I^2x^2\varrho\ell}{r^4\pi}.$

Ezt a hőteljesítményt – a Newton-féle hővezetési törvény szerint – a felületén keresztül áramlik kifelé:

$\displaystyle P(x)=-2\pi x\ell\lambda\cdot \frac{\Delta T}{\Delta x}.$

A fenti két egyenletből azt kapjuk, hogy az $\displaystyle x$ sugarú henger felületénél a hőmérsékletgradiens

$\displaystyle \frac{\Delta T}{\Delta x}= \frac{-I^2\varrho}{2\pi^2 r^4\lambda}\cdot x.$

Látjuk, hogy a hőmérsékletgradiens az $\displaystyle x$ távolság lineárisan változó függvénye, ezért számolhatunk úgy, mintha az egy állandó,

$\displaystyle \left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{átlag}=\frac12\left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{max}=\frac{-I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda}$

lenne. Ennek megfelelően

$\displaystyle \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda}=\frac{T-T_0}{r},$

vagyis a szimmetriatengelyen a hőmérséklet:

$\displaystyle T=T_0 + \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^2\lambda}.$

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Aklan Larion, Bencz Benedek, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz.
5 pontot kapott:	Hüvös Gergely, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. novemberi fizika feladatai