 |
A P. 5527. feladat (2023. december) |
P. 5527. Vízszintes, érdes asztalon a \(\displaystyle \mu\) csúszási súrlódási együttható az asztal peremétől mért \(\displaystyle x\) távolság függvénye. Egy kicsiny testet a peremről különböző \(\displaystyle v\) kezdősebességekkel elindítva azt tapasztaljuk, hogy a megállásig megtett út \(\displaystyle s = kv\) alakú, ahol \(\displaystyle k\) az asztalra jellemző paraméter. Határozzuk meg a súrlódási együttható helyfüggését!
Dürer Verseny feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Érdemes a munkatételből kiindulni, azaz felhasználni, hogy valamely \(\displaystyle v\) kezdősebesség esetén a mozgási energia csökkenését a súrlódási erő \(\displaystyle W(s)\) munkája fedezi:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}mv^2=W(s)\,.\) |
Amennyiben a testet egy kicsivel nagyobb \(\displaystyle v+\Delta v\) kezdősebességgel indítjuk, úgy a megállásig megtett út \(\displaystyle s+\Delta s\) értékre módosul, ekkor a munkatétel alakja:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^2=W(s+\Delta s)\,.\) |
Az (1) és (2) egyenleteket egymásból kivonva (bár a súrlódási tényező helyfüggő, a mozgás első \(\displaystyle s\) hosszúságú része ugyanazon az útvonalon történt, így \(\displaystyle W(s+\Delta s)=W(s)+W(\Delta s)\), ezért a kivonás elvégezhető), és a munka definícióját felhasználva az alábbi összefüggésre jutunk:
\(\displaystyle mv\Delta v=\mu(s)mg\Delta s\,,\)
ahol elhanyagoltuk a \(\displaystyle (\Delta v)^2\)-tel arányos tagokat. A feladatban megadott \(\displaystyle s=kv\) arányosság alapján könnyen látható, hogy \(\displaystyle \Delta s=k\Delta v\). Ezt felhasználva:
\(\displaystyle v=\mu(s)gk\,.\)
A \(\displaystyle v=s/k\) inverz arányosságot behelyettesítve végül adódik a súrlódási együttható helyfüggése:
\(\displaystyle \mu(x)=\frac{x}{gk^2}\,.\)
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Kátai Ferdinánd, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Masa Barnabás, Molnár Zétény, Pázmándi József Áron, Rózsa Zsombor, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Vincze Farkas Csongor, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Fehérvári Donát. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai