 |
A P. 5529. feladat (2023. december) |
P. 5529. Egy \(\displaystyle 7\) tonnás helikopter akkor tud egyhelyben lebegni, ha hajtóműve \(\displaystyle 1000~\mathrm{kW}\) teljesítményt ad le. Becsüljük meg, mekkora teljesítmény szükséges az előbbi helikopter egyhelyben lebegtetéséhez, ha az a belső terében még további \(\displaystyle 4\) tonna súlyt szállít?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A helikopter azért tud egyhelyben lebegni, mert a rotor által kifejtett emelőerő megegyezik a helikopter \(\displaystyle G\) súlyával. A rotorok a kezdetben álló levegőt felgyorsítják \(\displaystyle v\) sebességre. A gyorsítás \(\displaystyle \Delta t\) ideje alatt a levegő impulzusa \(\displaystyle \rho Av^2\Delta t\) értékkel növekszik meg, ahol \(\displaystyle \rho\) a levegő sűrűsége, \(\displaystyle A\) a rotor által súrolt terület. Az emelőerő nagysága megegyezik az impulzus egységnyi időre eső megváltozásával, azaz \(\displaystyle \rho Av^2\)-tel. A helikopter egyensúlyának feltételéből következik, hogy
\(\displaystyle G\sim v^2\,.\)
A motor mechanikai munkája arra fordítódik, hogy növelje a levegő kinetikus energiáját. \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt a levegő kinetikus energiája \(\displaystyle \frac{1}{2}\rho Av^3\Delta t\) értékkel növekszik meg. A rotor \(\displaystyle P\) teljesítménye megegyezik az egységnyi idő alatt végzett munkával, amiből következik, hogy
\(\displaystyle P\sim v^3\,.\)
A két arányosságot egymásba helyettesítjük: \(\displaystyle P\sim G^{3/2}\sim m^{3/2}\), ahol \(\displaystyle m\) a helikopter tömege. A megpakolt helikopter lebegtetéséhez szükséges teljesítmény:
\(\displaystyle 1000\,\mathrm{kW}\left(\frac{11\,\mathrm{t}}{7\,\mathrm{t}}\right)^{3/2}=1970\,\mathrm{kW}\approx 2000\,\mathrm{kW}\,.\)
Statisztika:
65 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Bocor Gergely, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Fajszi Karsa, Hegedüs Márk, Hüvös Gergely, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Molnár Ábel, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tárnok Ede , Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Bélteki Teó, Csapó András, Rózsa Laura Enikő , Vágó Botond. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 23 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai