 |
A P. 5531. feladat (2023. december) |
P. 5531. Egy Newton-féle csillagászati távcső nyitott tubusába véletlenül berepült egy világító szentjánosbogár. Amikor a tükörtől \(\displaystyle 150~\mathrm{cm}\) távol, az optikai tengelyen lévő \(\displaystyle P\) ponton keresztül az optikai tengely mentén mozgott, a képének pillanatnyi sebessége kétszer akkora volt, mint amikor a \(\displaystyle P\) ponton keresztül az előzővel megegyező sebességgel, de az optikai tengelyre merőlegesen repült. Mekkora a távcső tükrének fókusztávolsága?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a szokásos módon a tárgytávolságot \(\displaystyle t\)-vel, a képtávolságot \(\displaystyle k\)-val és a fókusztávolságot \(\displaystyle f\)-fel. A leképezési törvény szerint
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f},\)
amit
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle (t-f)(k-f)=f^2\) |
alakban is felírhatunk.
Vizsgáljuk először az optikai tengely mentén mozgó bogár esetét. Ha egy kicsiny \(\displaystyle \Delta\tau\) idő alatt a tárgytávolság \(\displaystyle t+v\Delta\tau\) lesz, és a képtávolság \(\displaystyle \Delta k\)-val változik meg, akkor fennáll
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (t+v\Delta\tau-f)(k+\Delta k-f)=f^2.\) |
(2)-ből (1)-t kivonva és a kicsiny mennyiségek szorzatát elhanyagolva a képpont sebességére a
\(\displaystyle u_\text{párhuzamos}=\frac{\Delta k}{\Delta\tau}\approx -\frac{f^2}{(t-f)^2}\,v\)
kifejezést kapjuk. (Kihasználtuk, hogy \(\displaystyle v\Delta\tau\ll t\).) Mivel az \(\displaystyle \frac{f}{t-f}\) mennyiség éppen a távcső tükrének adott tárgytávolsághoz tartozó \(\displaystyle N\) nagyítása, a bogár sebessége
\(\displaystyle u_\text{párhuzamos}=-N^2v\,.\)
Amikor a szentjánosbogár az optikai tengelyre merőlegesen repül, a tárgynak és a képnek a tengelytől mért távolságára igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{K}{T}=\frac{k}{t}=N\,,\)
és így a képpont sebessége:
\(\displaystyle u_\text{merőleges}=Nv\,.\)
A kétféle sebesség nagyságának aránya
\(\displaystyle \left\vert\frac{u_\text{párhuzamos}}{u_\text{merőleges}}\right\vert=\vert N \vert =2,\)
vagyis \(\displaystyle N=-2\) vagy \(\displaystyle N=+2\). Ennek megfelelően a fókusztávolság vagy 300 cm, vagy pedig 100 cm lehet. A második eset nem életszerű, hiszen a távcsövek tubusa általában nem sokkal hosszabb, mint a fókusztávolság. A második esetben tehát a bogár a tubuson kívül tartózkodna, holott a feladat szövege a tubusba ,,berepülő'' szentjánosbogarat említ.
Az \(\displaystyle f=300\,\mathrm{cm}\)-es fókusztávolság elfogadható eredmény.
Statisztika:
13 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csapó András, Debreceni Dániel. 4 pontot kapott: Bencze Mátyás, Gyerő Soma, Tóth Kolos Barnabás. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai