A P. 5531. feladat (2023. december)

P. 5531. Egy Newton-féle csillagászati távcső nyitott tubusába véletlenül berepült egy világító szentjánosbogár. Amikor a tükörtől $\displaystyle 150~\mathrm{cm}$ távol, az optikai tengelyen lévő $\displaystyle P$ ponton keresztül az optikai tengely mentén mozgott, a képének pillanatnyi sebessége kétszer akkora volt, mint amikor a $\displaystyle P$ ponton keresztül az előzővel megegyező sebességgel, de az optikai tengelyre merőlegesen repült. Mekkora a távcső tükrének fókusztávolsága?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a szokásos módon a tárgytávolságot $\displaystyle t$-vel, a képtávolságot $\displaystyle k$-val és a fókusztávolságot $\displaystyle f$-fel. A leképezési törvény szerint

$\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f},$

amit

alakban is felírhatunk.

Vizsgáljuk először az optikai tengely mentén mozgó bogár esetét. Ha egy kicsiny $\displaystyle \Delta\tau$ idő alatt a tárgytávolság $\displaystyle t+v\Delta\tau$ lesz, és a képtávolság $\displaystyle \Delta k$-val változik meg, akkor fennáll

(2)-ből (1)-t kivonva és a kicsiny mennyiségek szorzatát elhanyagolva a képpont sebességére a

$\displaystyle u_\text{párhuzamos}=\frac{\Delta k}{\Delta\tau}\approx -\frac{f^2}{(t-f)^2}\,v$

kifejezést kapjuk. (Kihasználtuk, hogy $\displaystyle v\Delta\tau\ll t$.) Mivel az $\displaystyle \frac{f}{t-f}$ mennyiség éppen a távcső tükrének adott tárgytávolsághoz tartozó $\displaystyle N$ nagyítása, a bogár sebessége

$\displaystyle u_\text{párhuzamos}=-N^2v\,.$

Amikor a szentjánosbogár az optikai tengelyre merőlegesen repül, a tárgynak és a képnek a tengelytől mért távolságára igaz, hogy

$\displaystyle \frac{K}{T}=\frac{k}{t}=N\,,$

és így a képpont sebessége:

$\displaystyle u_\text{merőleges}=Nv\,.$

A kétféle sebesség nagyságának aránya

$\displaystyle \left\vert\frac{u_\text{párhuzamos}}{u_\text{merőleges}}\right\vert=\vert N \vert =2,$

vagyis $\displaystyle N=-2$ vagy $\displaystyle N=+2$. Ennek megfelelően a fókusztávolság vagy 300 cm, vagy pedig 100 cm lehet. A második eset nem életszerű, hiszen a távcsövek tubusa általában nem sokkal hosszabb, mint a fókusztávolság. A második esetben tehát a bogár a tubuson kívül tartózkodna, holott a feladat szövege a tubusba ,,berepülő'' szentjánosbogarat említ.

Az $\displaystyle f=300\,\mathrm{cm}$-es fókusztávolság elfogadható eredmény.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Debreceni Dániel.
4 pontot kapott:	Bencze Mátyás, Gyerő Soma, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai