A P. 5532. feladat (2023. december)

P. 5532. Egy változtatható kapacitású kondenzátort, melynek kezdeti kapacitása $\displaystyle C_0$, feltöltünk $\displaystyle U_0$ feszültségre, majd egy $\displaystyle R$ ellenálláson keresztül rövidre zárunk.

$\displaystyle a$) Mennyi ideig és hogyan kell a kondenzátor kapacitását változtatnunk, hogy a kondenzátor kisütése közben az áramerősség állandó maradjon?

$\displaystyle b$) Határozzuk meg a kondenzátor kezdeti energiájának és az ellenálláson keletkező Joule-hőnek az arányát! Adjunk magyarázatot az eredményünkre.

A Quantum Magazine nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A kondenzátort kisütő áram erőssége

$\displaystyle I=\frac{U_0}{R}\,.$

Mivel ez állandó a feladat szövege alapján, így az ellenálláson eső feszültség és a kondenzátor feszültsége is az, értéke $\displaystyle U_0$. A kapacitáson lévő töltés

$\displaystyle q(t)=q_0-It\,,$

ahol $\displaystyle q_0=U_0C_0$ a kondenzátor kezdeti töltése. Ennek megfelelően a kondenzátor kapacitását a

$\displaystyle C(t)=\frac{q_0-It}{U_0}=C_0\left(1-\frac{t}{RC_0}\right)$

összefüggés szerint kell változtatnunk az állandó áram biztosításához. A kisülés ideje

$\displaystyle \tau=RC_0\,.$

$\displaystyle b)$ Az ellenálláson termelődő Joule-hő

$\displaystyle Q=U_0I\tau=U_0^2C_0\,,$

míg a kapacitás kezdeti energiája ennek pont a fele:

$\displaystyle E=\frac{U_0^2C_0}{2}\,.$

A különbözetet az a munka fedezi, amit a kapacitás folyamatos csökkentéséhez kellett befektetni.

Megjegyzés. Nagyon szemléletes, hogy egy töltött kondenzátor kapacitásának csökkentéséhez munkát kell végeznünk. Hiszen ha a kialakítás engedné, akkor a kapacitás spontán módon nőne: az ellentétesen töltött fegyverzetek vonzása csökkentené a távolságukat, ami a kapacitást növelné.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát.
4 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Flóring Balázs, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Vincze Farkas Csongor.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai