 |
A P. 5532. feladat (2023. december) |
P. 5532. Egy változtatható kapacitású kondenzátort, melynek kezdeti kapacitása \(\displaystyle C_0\), feltöltünk \(\displaystyle U_0\) feszültségre, majd egy \(\displaystyle R\) ellenálláson keresztül rövidre zárunk.
\(\displaystyle a\)) Mennyi ideig és hogyan kell a kondenzátor kapacitását változtatnunk, hogy a kondenzátor kisütése közben az áramerősség állandó maradjon?
\(\displaystyle b\)) Határozzuk meg a kondenzátor kezdeti energiájának és az ellenálláson keletkező Joule-hőnek az arányát! Adjunk magyarázatot az eredményünkre.
A Quantum Magazine nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A kondenzátort kisütő áram erőssége
\(\displaystyle I=\frac{U_0}{R}\,.\)
Mivel ez állandó a feladat szövege alapján, így az ellenálláson eső feszültség és a kondenzátor feszültsége is az, értéke \(\displaystyle U_0\). A kapacitáson lévő töltés
\(\displaystyle q(t)=q_0-It\,,\)
ahol \(\displaystyle q_0=U_0C_0\) a kondenzátor kezdeti töltése. Ennek megfelelően a kondenzátor kapacitását a
\(\displaystyle C(t)=\frac{q_0-It}{U_0}=C_0\left(1-\frac{t}{RC_0}\right)\)
összefüggés szerint kell változtatnunk az állandó áram biztosításához. A kisülés ideje
\(\displaystyle \tau=RC_0\,.\)
\(\displaystyle b)\) Az ellenálláson termelődő Joule-hő
\(\displaystyle Q=U_0I\tau=U_0^2C_0\,,\)
míg a kapacitás kezdeti energiája ennek pont a fele:
\(\displaystyle E=\frac{U_0^2C_0}{2}\,.\)
A különbözetet az a munka fedezi, amit a kapacitás folyamatos csökkentéséhez kellett befektetni.
Megjegyzés. Nagyon szemléletes, hogy egy töltött kondenzátor kapacitásának csökkentéséhez munkát kell végeznünk. Hiszen ha a kialakítás engedné, akkor a kapacitás spontán módon nőne: az ellentétesen töltött fegyverzetek vonzása csökkentené a távolságukat, ami a kapacitást növelné.
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát. 4 pontot kapott: Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Flóring Balázs, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Vincze Farkas Csongor. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai