 |
A P. 5533. feladat (2023. december) |
P. 5533. A \(\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}\) izotóp szokatlan viselkedésű, mert képes negatív és pozitív béta-bomlásra is, sőt elektronbefogásra is. Mekkora a háromféle folyamat bomlási energiája MeV egységben?
Útmutatás: Az izotóptömegeket lásd a https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf oldalon.
Példatári feladat nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A tömeg-energia megmaradásának alapján számíthatjuk ki a bomlási energiát. Kezdjük a negatív bétabomlással:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ca})+m_{\mathrm{elektron}}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
Ebben az egyenletben az atommagok tömege szerepel, de a táblázatokban az izotópoknak az elektronokkal együtt mérhető tömegét találhatjuk meg. Ezért a táblázatokban megadott értékekből a bal oldalon a kálium 19 elektronját kell levonnunk, a jobb oldalon pedig a Ca 20 elektronját. De a jobb oldalon a kirepülő béta-részecske (vagyis egy elektron) tömegét a keletkező Ca mag tömegéhez hozzá kell adnunk, és így mindkét oldalon 19 elektron levonására lenne szükség, de ezzel egyszerűsíthetünk. A bomlási energia tehát így számítható ki:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2\,.\)
A táblázatokban az izotóptömegek atomi tömegegységekben (\(\displaystyle u\)) vannak megadva. Könnyen belátható, hogy \(\displaystyle u=931{,}5\,\frac{\mathrm{MeV}}{c^2}\). Írjuk be a numerikus értékeket:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962591)uc^2=1{,}311\,\mathrm{MeV}\,.\)
A pozitív bétabomlásnál a tömeg-energia egyenlet így írható fel:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})+m_\mathrm{pozitron}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
A táblázatok izotóptömegeit használva a káliumból most is 19 elektrontömeget kell levonnunk, de az argonnak csak 18 levonandó elektronja van, és még ott van a pozitron tömege is, ami megegyezik az elektron tömegével. Tehát a bomlási energia így számítható ki a táblázatok adataival:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})-2m_\mathrm{elektron}\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383-2\cdot 0,000549)uc^2=0{,}482\,\mathrm{MeV}\,.\)
Végül az elektronbefogásnál a tömeg-energia megmaradási egyenlet:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})+m_\mathrm{elektron}\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
A táblázatok adataiból a kálium 19 elektronját kell levonni, de ehhez hozzáadódik a befogott elektron, így ez a levonás megegyezik az argon 18 elektronjának levonásával:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383)uc^2=1{,}504\,\mathrm{MeV}\,.\)
Megjegyzés. A bétabomlás során neutrínó is keletkezik, azonban ennek a tömege olyan kicsi, hogy a bomlási energia számításában nem kell figyelembe vennünk. Ugyancsak figyelmen kívül hagyhatjuk az atomi elektronok kötési energiáit is, vagyis az elektronok tömegét illetően szabadelektronokkal számolhatunk.
Statisztika:
28 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bernhardt Dávid, Bunford Luca, Éger Viktória, Erős Fanni, Fórizs Borbála, Képes Botond, Molnár Kristóf. 3 pontot kapott: Bélteki Teó, Csernyik Péter, Dobos Anita, Kis Márton Tamás, Kissebesi Máté, Klement Tamás. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai