A P. 5533. feladat (2023. december)

P. 5533. A $\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}$ izotóp szokatlan viselkedésű, mert képes negatív és pozitív béta-bomlásra is, sőt elektronbefogásra is. Mekkora a háromféle folyamat bomlási energiája MeV egységben?

Útmutatás: Az izotóptömegeket lásd a https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf oldalon.

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A tömeg-energia megmaradásának alapján számíthatjuk ki a bomlási energiát. Kezdjük a negatív bétabomlással:

$\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ca})+m_{\mathrm{elektron}}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.$

Ebben az egyenletben az atommagok tömege szerepel, de a táblázatokban az izotópoknak az elektronokkal együtt mérhető tömegét találhatjuk meg. Ezért a táblázatokban megadott értékekből a bal oldalon a kálium 19 elektronját kell levonnunk, a jobb oldalon pedig a Ca 20 elektronját. De a jobb oldalon a kirepülő béta-részecske (vagyis egy elektron) tömegét a keletkező Ca mag tömegéhez hozzá kell adnunk, és így mindkét oldalon 19 elektron levonására lenne szükség, de ezzel egyszerűsíthetünk. A bomlási energia tehát így számítható ki:

$\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2\,.$

A táblázatokban az izotóptömegek atomi tömegegységekben ($\displaystyle u$) vannak megadva. Könnyen belátható, hogy $\displaystyle u=931{,}5\,\frac{\mathrm{MeV}}{c^2}$. Írjuk be a numerikus értékeket:

$\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962591)uc^2=1{,}311\,\mathrm{MeV}\,.$

A pozitív bétabomlásnál a tömeg-energia egyenlet így írható fel:

$\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})+m_\mathrm{pozitron}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.$

A táblázatok izotóptömegeit használva a káliumból most is 19 elektrontömeget kell levonnunk, de az argonnak csak 18 levonandó elektronja van, és még ott van a pozitron tömege is, ami megegyezik az elektron tömegével. Tehát a bomlási energia így számítható ki a táblázatok adataival:

$\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})-2m_\mathrm{elektron}\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383-2\cdot 0,000549)uc^2=0{,}482\,\mathrm{MeV}\,.$

Végül az elektronbefogásnál a tömeg-energia megmaradási egyenlet:

$\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})+m_\mathrm{elektron}\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.$

A táblázatok adataiból a kálium 19 elektronját kell levonni, de ehhez hozzáadódik a befogott elektron, így ez a levonás megegyezik az argon 18 elektronjának levonásával:

$\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383)uc^2=1{,}504\,\mathrm{MeV}\,.$

Megjegyzés. A bétabomlás során neutrínó is keletkezik, azonban ennek a tömege olyan kicsi, hogy a bomlási energia számításában nem kell figyelembe vennünk. Ugyancsak figyelmen kívül hagyhatjuk az atomi elektronok kötési energiáit is, vagyis az elektronok tömegét illetően szabadelektronokkal számolhatunk.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bernhardt Dávid, Bunford Luca, Éger Viktória, Erős Fanni, Fórizs Borbála, Képes Botond, Molnár Kristóf.
3 pontot kapott:	Bélteki Teó, Csernyik Péter, Dobos Anita, Kis Márton Tamás, Kissebesi Máté, Klement Tamás.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai