A P. 5536. feladat (2024. január)

P. 5536. Egy focimeccsen a kaputól valamekkora $\displaystyle d$ távolságban lévő $\displaystyle P$ pontból szabadrúgást végeznek el. A $\displaystyle P$ pont a gólvonal felezőmerőlegesén helyezkedik el.

A játékos a labdát valamekkora $\displaystyle \alpha$ szögben éppen a felső kapufa közepe felé rúgja el, de az $\displaystyle t_1$ idejű mozgás után a gólvonal közepénél esik a földre. A rúgást valamilyen ok miatt meg kell ismételni. Másodszor a játékos erősebben, $\displaystyle 2\alpha$ szögben rúgja el a labdát, ami $\displaystyle t_2$ idő múlva eltalálja a felső kapufa közepét. (A kapu mérete kicsit eltér a szabványostól.)

$\displaystyle a)$ Mekkora volt az $\displaystyle \alpha$ szög?

$\displaystyle b)$ Mekkora a $\displaystyle d$ távolság?

$\displaystyle c)$ Mekkora volt a labda kezdősebessége az első, illetve a második szabad­rúgásnál?

(A labdát tekintsük tömegpontnak, és a közegellenállást ne vegyük figyelembe.)

Adatok: $\displaystyle t_1=1{,}90~\text{s}$, $\displaystyle t_2=1{,}93~\text{s}$, $\displaystyle g=9{,}81~\text{m}/\text{s}^2$.

Nagy Béla (1881–1954) feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az eredeti feladat adataival olyan eredmény adódott volna, amely ütközött a foci szabályaival (a szabadrúgást a tizenhatoson belülről rúgták volna). Emiatt az adatokat megváltoztattuk, és ekkor – tévedésből – olyan időadatok kerültek be, amelyekkel a feladat fizikai szempontból ugyan megoldható, de irreális eredményeket ad. A hibáért elnézést kérünk!

A labda mozgására a következő egyenleteket írhatjuk fel:

Ezekből az ismeretlen mennyiségek ($\displaystyle d,\alpha, v_1$ és $\displaystyle v_2$) kifejezhetők.

$\displaystyle a)$ (1)-ből kifejezve $\displaystyle v_1$-et és azt (2)-be helyettesítve

adódik. Hasonló módon a (3)-ból kifejezett $\displaystyle v_2$-t (4)-be írva kapjuk, hogy

(5) és (6) összevetéséből

$\displaystyle \frac{t_2^2}{t_1^2}=\frac{\tg 2\alpha-\tg\alpha}{\tg\alpha}=\frac{2}{1-\tg^2\alpha}-1=\frac{1+\tg^2\alpha}{1-\tg^2\alpha},$

ahonnan

$\displaystyle b)$ (5) és (7) felhasználásával a keresett távolság:

$\displaystyle d=\frac{g t_1^2}{2}\sqrt{\frac{t_2^2+t_1^2}{t_2^2-t_1^2}}\approx 141\,\mathrm{m}.$

$\displaystyle c)$ Az elrúgott labdák kezdősebessége (1) és (3)-ból számítható ki:

$\displaystyle v_1=\frac{gt_1t_2}{\sqrt{2(t_2^2-t_1^2)}}\approx 75{,}0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},$

illetve

$\displaystyle v_2=\frac{gt_2}{2}\sqrt{\frac{t_2^2+t_1^2}{t_2^2-t_1^2}}\approx 75{,}6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$

Megjegyzések: 1. A számszerű eredmények nyilvánvalóan nem összeegyeztethetők egy valóságos focipályával, hiszen a kapu magasságára (amelynek értékét ugyan a feladat nem kérdezte) $\displaystyle 17{,}7\,\mathrm{m}$ adódik. A szabadrúgás távolsága és a sebességek is túl nagynak adódnak.

2. Észrevehetjük, hogy a numerikus eredmények rendkívül érzékenyek a kiinduló adatokra (és a számítások közbeni esetleges kerekítésekre). Ennek az az oka, hogy a kifejezésekben két, egymástól csak nagyon kicsit eltérő mennyiség különbsége szerepel. (Ugyanakkor az időadatokat kettőnél több tizedes pontossággal megadni a labda kiterjedt mérete miatt értelmetlen.)

3. Az irreális numerikus eredmények miatt a hibátlan paraméteres megoldásért is maximális pontszám jár.

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Botond, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Bunford Luca, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Hegedüs Márk, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tóth Hanga Katalin, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári fizika feladatai