 |
A P. 5537. feladat (2024. január) |
P. 5537. Egy kalandparkban az erre vállalkozók egy \(\displaystyle R\!=\!20~\text{m}\) magas, \(\displaystyle {\alpha\!=\!30^{\circ}}\)-os hajlásszögű lejtő tetejéről (\(\displaystyle A\)), kezdősebesség nélkül, szabadon (fékezésmentesen) gurulhatnak lefelé egy kicsiny kocsiban. A lejtő törésmentesen csatlakozik egy \(\displaystyle R\) sugarú, körív alakú pályaszakaszhoz (\(\displaystyle B\)), majd a pálya a legmélyebb pontjától (\(\displaystyle C\)) vízszintesen folytatódik tovább. A vízszintes szakaszon a megfelelő módon fékezett kocsi időben egyenletesen lassul, és \(\displaystyle \ell=2R\) út megtétele után a \(\displaystyle D\) pontnál megáll.
Számítsuk ki, hogy az utasok a szokásos súlyuknak hányszorosát érzik a mozgásuk során! Ábrázoljuk ezt az arányt a megtett út függvényében!
Holics László feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű testre a nehézségi erőn kívül \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) erő hat, akkor a mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{K}=m\boldsymbol{a},\)
vagyis
\(\displaystyle \boldsymbol{K}=m(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{g}),\)
ahol \(\displaystyle \boldsymbol{a}\) a test gyorsulásvektora. Megállapodás szerint a \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) erő ellenerejének nagyságát nevezik a test \(\displaystyle G\) súlyának:
\(\displaystyle G=m\vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert.\)
(Ezt a \(\displaystyle G\) értéket mutatja az a mérleg, amit a gyorsuló test alá helyeznek.) A szokásos súly az álló helyzetben (vagy gyorsulásmentes körülmények között) mért súly: \(\displaystyle G_0=mg.\) A feladatban kérdezett arányszám:
\(\displaystyle \lambda\equiv\frac{G}{G_0}=\frac{\vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert}{g}.\)
I. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont között a kis kocsi (és benne az emberek) lejtőirányú gyorsulása \(\displaystyle a=g\sin\alpha\). Ugyanekkora a nehézségi erő lejtőirányú komponense is, ezek különbsége tehát nulla. Ennek megfelelően
\(\displaystyle \vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert=g\cos\alpha\)
és így
\(\displaystyle \lambda=\cos\alpha\approx 0{,}87.\)
A mozgás ezen szakaszának hossza
\(\displaystyle s_1=R\,\ctg\alpha\approx 34{,}6\,\mathrm{m}.\)
II. A mozgás második szakaszában (a \(\displaystyle CB\) köríven) a test gyorsulása az érintőirányú gyorsulásból és a sugárirányú (centripetális) gyorsulásból tevődik össze. Az érintőleges gyorsulás és a nehézségi gyorsulás érintőirányú komponense megegyezik, ezek különbsége tehát nulla. A sugárirányú gyorsulás nagysága \(\displaystyle v^2/R\), ahol \(\displaystyle v\) a test pillanatnyi sebessége. A nehézségi gyorsulás sugárirányú komponense a centripetális gyorsulással ellentétes irányú és \(\displaystyle g\cos\varphi\) nagyságú, ahol \(\displaystyle \varphi\) (\(\displaystyle \alpha>\varphi>0)\) a test pillanatnyi helyzetéhez tartozó sugárnak a függőlegessel bezárt szöge. Ennek megfelelően
\(\displaystyle \lambda=\frac{v^2}{Rg}+\cos\varphi.\)
A sebességet az energiamegmaradás törvényét alkalmazva kapjuk meg:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgR\cos\varphi,\qquad\textrm{vagyis}\qquad v=\sqrt{2gR\cos\varphi},\)
és innen
\(\displaystyle \lambda=3\cos\varphi.\)
A körív hossza:
\(\displaystyle s_2=R\alpha=R\frac{\pi}{6}\approx 10{,}5\,\mathrm{m}.\)
Közvetlenül a \(\displaystyle B\) pont elhagyása után \(\displaystyle \lambda\approx 2{,}6\), a \(\displaystyle C\) pont elérése előtti pillanatban pedig \(\displaystyle \lambda=3{,}00.\) A megtett \(\displaystyle s\) út és \(\displaystyle \varphi\) közötti kapcsolat:
\(\displaystyle \varphi=\ctg\alpha+\alpha-\frac{s}{R}.\)
III. A mozgás harmadik, fékezéses szakaszában a gyorsulás vízszintes irányú és \(\displaystyle a=\frac{R}{\ell}g=\frac{1}{2}g\) nagyságú. Ennek megfelelően
\(\displaystyle \lambda=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12.\)
A mozgás ezen szakaszának hossza \(\displaystyle s_3=40\,\mathrm{m}\), a teljes út pedig \(\displaystyle s_1+s_2+s_3\approx 85\,\mathrm{m}.\)
A \(\displaystyle \lambda\) arányszámnak a megtett úttól való függését az ábra mutatja. Látható, hogy \(\displaystyle \lambda(s)\) nem folytonos függvény, a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) pontokban ,,ugrása'' van. A Newton-törvény szerint (véges nagyságú erők esetén) csak a sebesség nem változhat meg hirtelen, a gyorsulásra nincs ilyen kikötés.
Megjegyzés. A feladatban leírt ,,zökkenés'' elkerülése érdekében a vasúti pályák és az autópályák görbületi sugara csak fokozatosan változik, tehát egyesen szakaszhoz sosem csatlakozik körív.
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bernhardt Dávid, Csiszár András, Fehérvári Donát, Hegedüs Márk, Nguyen Kim Dorka, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Zólomy Csanád Zsolt. 4 pontot kapott: Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Csapó András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Gyerő Soma, Kovács Kristóf , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Zádori Gellért, Žigo Boglárka. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2024. januári fizika feladatai