A P. 5539. feladat (2024. január)

P. 5539. Egy hosszú, merev, elhanyagolható tömegű palló $\displaystyle n$ egymástól egyenlő távolságra elhelyezett, azonos direkciós erejű és azonos nyújtatlan hosszal rendelkező rugóra van felfüggesztve. Az első rugó legfeljebb $\displaystyle K$ erőt tud kifejteni, a második $\displaystyle 2K$-t, $\displaystyle \ldots$, az $\displaystyle n$-edik $\displaystyle n\cdot K$-t anélkül, hogy elszakadna. Legfeljebb mekkora tömegű testet helyezhetünk el a pallón? Hova kell helyeznünk? (Tételezzük fel, hogy a rugók alig nyúlnak meg.)

Közli: Szentivánszki Soma, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle m$ a pallóra helyezett nehezék tömegét, $\displaystyle x$ a távolságát az első felfüggesztési ponttól, és legyen $\displaystyle \Delta x$ a szomszédos felfüggesztési pontok távolsága. A rugók kis megnyúlása esetén a palló helyzete csak kicsit térhet el a vízszintestől, a rugók, és így a felfüggesztési pontokban ható erők függőlegesnek tekinthetők. A megnyúlások és ennek megfelelően a rugókban ébredő erők is számtani sorozatot alkotnak (hiszen a palló nem hajlik meg):

$\displaystyle K_i= K_1+(i-1)\Delta K.$

A pallóra ható erők és forgatónyomatékok egyensúlyban vannak, azaz

$\displaystyle mg=\sum_{i=1}^n K_i= \sum_{i=1}^n \left(K_1+(i-1)\Delta K\right)= nK_1+\frac{n(n-1)}{2}\Delta K,$

és (a forgatónyomatékokat az első felfüggesztési pontra vonatkoztatva)

Nyilván, a legnagyobb megengedhető súly esetén minden rugó a terhelhetősége határán van (ez az állapot meg is valósítható, mert a szakítóerők és a rugóerők is számtani sorozatot alkotnak), azaz

$\displaystyle K_1=\Delta K= K.$

Ebből

$\displaystyle m=\frac{n(n+1)}{2}\frac{K}{g},$

és

$\displaystyle x=\frac{2(n-1)\Delta x}{3}=\frac{2L}{3},$

ahol $\displaystyle L=(n-1)\Delta x$ pont a két szélső felfüggesztési pont közötti távolság. Figyelemre méltó, hogy a maximális terhelésnél a súly egyedüli lehetséges pozíciója nem függ az $\displaystyle n$-től.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Boér Panna Rita, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Szabó Donát, Tárnok Ede , Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Hornok Máté, Kis Márton Tamás, Kovács Kristóf , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. januári fizika feladatai