 |
A P. 5539. feladat (2024. január) |
P. 5539. Egy hosszú, merev, elhanyagolható tömegű palló \(\displaystyle n\) egymástól egyenlő távolságra elhelyezett, azonos direkciós erejű és azonos nyújtatlan hosszal rendelkező rugóra van felfüggesztve. Az első rugó legfeljebb \(\displaystyle K\) erőt tud kifejteni, a második \(\displaystyle 2K\)-t, \(\displaystyle \ldots\), az \(\displaystyle n\)-edik \(\displaystyle n\cdot K\)-t anélkül, hogy elszakadna. Legfeljebb mekkora tömegű testet helyezhetünk el a pallón? Hova kell helyeznünk? (Tételezzük fel, hogy a rugók alig nyúlnak meg.)
Közli: Szentivánszki Soma, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje \(\displaystyle m\) a pallóra helyezett nehezék tömegét, \(\displaystyle x\) a távolságát az első felfüggesztési ponttól, és legyen \(\displaystyle \Delta x\) a szomszédos felfüggesztési pontok távolsága. A rugók kis megnyúlása esetén a palló helyzete csak kicsit térhet el a vízszintestől, a rugók, és így a felfüggesztési pontokban ható erők függőlegesnek tekinthetők. A megnyúlások és ennek megfelelően a rugókban ébredő erők is számtani sorozatot alkotnak (hiszen a palló nem hajlik meg):
\(\displaystyle K_i= K_1+(i-1)\Delta K.\)
A pallóra ható erők és forgatónyomatékok egyensúlyban vannak, azaz
\(\displaystyle mg=\sum_{i=1}^n K_i= \sum_{i=1}^n \left(K_1+(i-1)\Delta K\right)= nK_1+\frac{n(n-1)}{2}\Delta K,\)
és (a forgatónyomatékokat az első felfüggesztési pontra vonatkoztatva)
$$\begin{align*} mgx=&\sum_{i=1}^n (i-1)\Delta x\,K_i=\sum_{i=1}^n \left((i-1)\Delta x\,K_1+(i-1)^2\Delta x\,\Delta K\right)=\\ =&\left(\frac{n(n-1)}{2} K_1+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\Delta K\right)\Delta x. \end{align*}$$Nyilván, a legnagyobb megengedhető súly esetén minden rugó a terhelhetősége határán van (ez az állapot meg is valósítható, mert a szakítóerők és a rugóerők is számtani sorozatot alkotnak), azaz
\(\displaystyle K_1=\Delta K= K.\)
Ebből
\(\displaystyle m=\frac{n(n+1)}{2}\frac{K}{g},\)
és
\(\displaystyle x=\frac{2(n-1)\Delta x}{3}=\frac{2L}{3},\)
ahol \(\displaystyle L=(n-1)\Delta x\) pont a két szélső felfüggesztési pont közötti távolság. Figyelemre méltó, hogy a maximális terhelésnél a súly egyedüli lehetséges pozíciója nem függ az \(\displaystyle n\)-től.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Boér Panna Rita, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Szabó Donát, Tárnok Ede , Žigo Boglárka. 4 pontot kapott: Hornok Máté, Kis Márton Tamás, Kovács Kristóf , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2024. januári fizika feladatai