 |
A P. 5540. feladat (2024. január) |
P. 5540. Két azonos méretű poharat szobahőmérsékletű teával töltünk meg, majd az egyiket a hűtőbe, a másikat pedig a jóval hidegebb mélyhűtőbe helyezzük. Egy perc elteltével a poharakat kicseréljük, majd egy további percig új helyükön hagyjuk, végül mindkettőt kivesszük. Melyik pohár tartalma hűl le jobban a kísérlet során? A releváns hőátadási folyamatokra alkalmazható a Newton-féle lehűlési törvény, továbbá a hőátadási tényező a hűtő, illetve a mélyhűtő esetén azonosnak tekinthető.
Dürer Verseny feladata nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A Newton-féle lehűlési törvény értelmében egy test és környezete között időegységenként átadott hő csak a hőmérséklet-különbségüktől függ. A test kezdeti hőmérsékletét \(\displaystyle T_0\)-val, a környezetét \(\displaystyle T_\mathrm{k}\)-val jelölve, a hőátadási tényezőt, a test hőkapacitását és felületét pedig egy \(\displaystyle \lambda\) állandóba foglalva a test \(\displaystyle t\) időpontbeli hőmérséklete:
\(\displaystyle T(t)=T_\mathrm{k}+(T_0-T_\mathrm{k})\mathrm{e}^{-\lambda t}.\)
Ezt felhasználva kiszámíthatjuk a tea végső hőmérsékletét, miután azt \(\displaystyle \tau\) ideig a \(\displaystyle T_1\) hőmérsékletű hűtőben, majd újabb \(\displaystyle \tau\) ideig a \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletű mélyhűtőben tartottuk:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle T_\mathrm{A}=T_2+\left[T_1+(T_0-T_1)\mathrm{e}^{-\lambda\tau}-T_2\right]\mathrm{e}^{-\lambda\tau}.\) |
Ha előbb tesszük a mélyhűtőbe, majd utána a hűtőbe, akkor a végső hőmérséklet a következőképp módosul:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T_\mathrm{B}=T_1+\left[T_2+(T_0-T_2)\mathrm{e}^{-\lambda\tau}-T_1\right]\mathrm{e}^{-\lambda\tau}.\) |
Az (1) és (2) egyenletekből a kétféle hőmérséklet különbsége kifejezhető:
\(\displaystyle T_\mathrm{A}-T_\mathrm{B}=(T_2-T_1)\left(1-2\mathrm{e}^{-\lambda\tau}+\mathrm{e}^{-2\lambda\tau}\right)=(T_2-T_1)\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda\tau}\right)^2.\)
Az első zárójelben álló kifejezés negatív, a teljes négyzet pedig nemnegatív, így \(\displaystyle T_\mathrm{B}>T_\mathrm{A}\). Következésképpen az a pohár hűl le jobban, amelyiket először a hűtőbe, majd a mélyhűtőbe helyeztük. Érdekesség, hogy az eredmény független mind a hőátadást jellemző \(\displaystyle \lambda\) paramétertől, mind a \(\displaystyle \tau\) időtartamtól, csupán annyi lényeges, hogy ezek a kétféle környezetre vonatkozóan azonosak legyenek.
Statisztika:
54 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csapó András, Csernyik Péter, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Hornok Máté, Klement Tamás, Masa Barnabás, Nguyen Kim Dorka, Pázmándi József Áron, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk. 4 pontot kapott: Debreceni Dániel, Földes Márton, Saller Bálint , Szécsényi-Nagy Rudolf, Szilágyi Kitti. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. januári fizika feladatai