A P. 5540. feladat (2024. január)

P. 5540. Két azonos méretű poharat szobahőmérsékletű teával töltünk meg, majd az egyiket a hűtőbe, a másikat pedig a jóval hidegebb mélyhűtőbe helyezzük. Egy perc elteltével a poharakat kicseréljük, majd egy további percig új helyükön hagyjuk, végül mindkettőt kivesszük. Melyik pohár tartalma hűl le jobban a kísérlet során? A releváns hőátadási folyamatokra alkalmazható a Newton-féle lehűlési törvény, továbbá a hőátadási tényező a hűtő, illetve a mélyhűtő esetén azonosnak tekinthető.

Dürer Verseny feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A Newton-féle lehűlési törvény értelmében egy test és környezete között időegységenként átadott hő csak a hőmérséklet-különbségüktől függ. A test kezdeti hőmérsékletét $\displaystyle T_0$-val, a környezetét $\displaystyle T_\mathrm{k}$-val jelölve, a hőátadási tényezőt, a test hőkapacitását és felületét pedig egy $\displaystyle \lambda$ állandóba foglalva a test $\displaystyle t$ időpontbeli hőmérséklete:

$\displaystyle T(t)=T_\mathrm{k}+(T_0-T_\mathrm{k})\mathrm{e}^{-\lambda t}.$

Ezt felhasználva kiszámíthatjuk a tea végső hőmérsékletét, miután azt $\displaystyle \tau$ ideig a $\displaystyle T_1$ hőmérsékletű hűtőben, majd újabb $\displaystyle \tau$ ideig a $\displaystyle T_2$ hőmérsékletű mélyhűtőben tartottuk:

Ha előbb tesszük a mélyhűtőbe, majd utána a hűtőbe, akkor a végső hőmérséklet a következőképp módosul:

Az (1) és (2) egyenletekből a kétféle hőmérséklet különbsége kifejezhető:

$\displaystyle T_\mathrm{A}-T_\mathrm{B}=(T_2-T_1)\left(1-2\mathrm{e}^{-\lambda\tau}+\mathrm{e}^{-2\lambda\tau}\right)=(T_2-T_1)\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda\tau}\right)^2.$

Az első zárójelben álló kifejezés negatív, a teljes négyzet pedig nemnegatív, így $\displaystyle T_\mathrm{B}>T_\mathrm{A}$. Következésképpen az a pohár hűl le jobban, amelyiket először a hűtőbe, majd a mélyhűtőbe helyeztük. Érdekesség, hogy az eredmény független mind a hőátadást jellemző $\displaystyle \lambda$ paramétertől, mind a $\displaystyle \tau$ időtartamtól, csupán annyi lényeges, hogy ezek a kétféle környezetre vonatkozóan azonosak legyenek.

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Csernyik Péter, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Hornok Máté, Klement Tamás, Masa Barnabás, Nguyen Kim Dorka, Pázmándi József Áron, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk.
4 pontot kapott:	Debreceni Dániel, Földes Márton, Saller Bálint , Szécsényi-Nagy Rudolf, Szilágyi Kitti.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári fizika feladatai