A P. 5542. feladat (2024. január)

P. 5542. Egy $\displaystyle R$ ellenállásból, egy $\displaystyle L$ induktivitású tekercsből, egy $\displaystyle C$ kapacitású kondenzátorból és egy $\displaystyle U(t)=U_0\sin(\omega t)$ feszültségű generátorból az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.

$\displaystyle a)$ Mekkora az ellenálláson átfolyó áram amplitúdója?

$\displaystyle b)$ Hogyan válasszuk meg az $\displaystyle \omega$ körfrekvenciát ahhoz, hogy az ellenálláson ne folyjon áram?

Közli: Németh Róbert, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. $\displaystyle a)$ Ha a párhuzamos $\displaystyle LC$-körre jutó feszültség csúcsértéke $\displaystyle U_1$, akkor a tekercsen

$\displaystyle I_1=\frac{U_1}{L\omega}$

erősségű, a kapocsfeszültséghez képest $\displaystyle 90^\circ$-kal késő áram folyik. Ugyanakkor a kondenzátoron

$\displaystyle I_2=U_1\,\omega C$

erősségű, a kapocsfeszültséghez képest $\displaystyle 90^\circ$-kal siető áram folyik. A két áram előjeles összegének nagysága (mivel azok egymáshoz képest $\displaystyle 90^\circ+90^\circ=180^\circ$ fázistolásban vannak):

$\displaystyle I=\vert I_1-I_2\vert =U_1\left|\frac{1}{L\omega}-\omega C\right|.$

Ez a két (párhuzamosan kapcsolt) áramköri elem tehát az adott körfrekvencián $\displaystyle L\omega>\frac{1}{\omega C}$ esetén helyettesíthető egyetlen tekerccsel, ellenkező esetben pedig egyetlen kondenzátorral. Bármelyik eset teljesül, az egész áramkör impedanciája

$\displaystyle Z=\sqrt{R^2+\frac{1}{\left(1/(L\omega)-\omega C\right)^2}},$

vagyis az ellenálláson átfolyó áram amplitúdója:

$\displaystyle I_0=U_0\frac{\vert1-LC\omega^2\vert}{\sqrt{R^2(1-LC\omega^2)^2+\omega^2L^2}}$

$\displaystyle b)$ Az ellenálláson $\displaystyle L\omega=\frac1{\omega C}$, vagyis rezonancia esetén nem folyik áram.

II. megoldás A feladat szemléletesen megoldható forgóvektorok (fazorok, amplitúdót és fázist kifejező vektorok) segítségével is.

Vegyük fel először a párhuzamosan kapcsolt tekercs és kondenzátor $\displaystyle U_{\mathrm{L}}=U_{\mathrm{C}}$ feszültségének megfelelő vektort (vízszintes kék vektor az 1. ábrán).

1. ábra

Ezután a tekercs és a kondenzátor áramainak

$\displaystyle I_{\mathrm{L}}=\frac{U_{\mathrm{L}}}{X_{\mathrm{L}}}=\frac{U_{\mathrm{L}}}{L\omega}\,,$

illetve

$\displaystyle I_{\mathrm{C}}=\frac{U_{\mathrm{C}}}{X_{\mathrm{C}}}=U_{\mathrm{L}}\omega C$

nagyságú vektorát, amelyek a közös feszültséghez képest $\displaystyle 90^\circ$-kal késni, illetve sietni fognak.

A főágban és az ellenálláson ennek a két vektornak az eredője fog folyni ($\displaystyle I_0$, függőleges piros vektor az ábrán, nagysága a két áram nagyságának különbsége), az ellenállás $\displaystyle U_{\mathrm{R}}=RI_{\mathrm{R}}=RI_0$ feszültsége (zöld vektor) pedig ezzel azonos fázisú, azonos irányba mutat.

Az $\displaystyle U_0$ kapocsfeszültséget az $\displaystyle U_{\mathrm{L}}=U_{\mathrm{C}}$ és az $\displaystyle U_{\mathrm{R}}$ vektorok eredője adja meg.

Az (előző megoldásban is felírt) számítások most már az ábra alapján egyszerűen elvégezhetők:

$\displaystyle I_0=\left|\frac{U_{\mathrm{L}}}{L\omega}-U_{\mathrm{L}}\omega C\right|=U_{\mathrm{L}}\left|\frac{1}{L\omega}-\omega C\right|\quad\rightarrow\quad U_{\mathrm{L}}=\frac{I_0}{\left|\frac{1}{L\omega}-\omega C\right|}\,,$

$\displaystyle U_0=\sqrt{U_{\mathrm{R}}^2+U_{\mathrm{L}}^2}=I_0\sqrt{R^2+\frac{1}{\left(\frac{1}{L\omega}-\omega C\right)^2}}=I_0\frac{\sqrt{R^2\left(1-LC\omega^2\right)^2+\omega^2L^2}}{\left|1-LC\omega^2\right|}\quad\rightarrow$

$\displaystyle \rightarrow\quad I_0=U_0\frac{\left|1-LC\omega^2\right|}{\sqrt{R^2\left(1-LC\omega^2\right)^2+\omega^2L^2}}\,,$

az előző megoldással egyezően.

Az 1. ábrán $\displaystyle I_{\mathrm{L}}>I_{\mathrm{C}}$, így a főágbeli $\displaystyle I_0$ áram

$\displaystyle \varphi=\arccos\frac{U_{\mathrm{R}}}{U_0}=\arccos\frac{R\left|1-LC\omega^2\right|}{\sqrt{R^2\left(1-LC\omega^2\right)^2+\omega^2L^2}}$

szöggel késni fog az $\displaystyle U_0$ kapocsfeszültséghez képest.

Ha a körfrekvenciát növeljük, akkor a tekercs árama csökkenni, a kondenzátor árama nőni fog, így a különbségük ($\displaystyle I_0$) csökkenni fog, a $\displaystyle \varphi$ szög pedig egyre nagyobb lesz.

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\omega_0$

körfrekvencia közelében a fázis (az $\displaystyle I_0$ áram fáziskésése az $\displaystyle U_0$ kapocsfeszültséghez képest) $\displaystyle 90^\circ$-hoz tart.

$\displaystyle \omega=\omega_0$ körfrekvenciánál az $\displaystyle I_0$ áram nullává válik, ez a válasz a $\displaystyle b)$ kérdésre.

Ha a körfrekvenciát kicsit tovább növeljük, akkor már $\displaystyle I_{\mathrm{L}}<I_{\mathrm{C}}$, a fázis hirtelen előjelet vált, az $\displaystyle I_0$ áram sietni fog az $\displaystyle U_0$ kapocsfeszültséghez képest (2. ábra). A körfrekvencia további növelésével az áram nagysága nőni, a fázis abszolút értéke csökkenni fog.

2. ábra

A 3. ábrán az $\displaystyle I_0$ áram nagyságát ábrázoltuk ($\displaystyle \tfrac{U_0}{R}$ egységekben), az $\displaystyle \omega$ körfrekvencia függvényében ($\displaystyle \omega_0$ egységekben, a vízszintes tengelyen logaritmikus a skála). A két görbét más-más

$\displaystyle r=R\sqrt{\frac{C}{L}}$

dimenziótlan paraméter jellemzi. (Érdekes módon ebben a rezgőkörben akkor van éles rezonancia, ha $\displaystyle R$ nagy.) A grafikonon az $\displaystyle r=0{,}1$ (kék) és az $\displaystyle r=1$ (piros) esetet ábrázoltuk.

3. ábra

Végül a 4. ábra az áramkör fázisát mutatja, szintén az $\displaystyle \omega$ körfrekvencia függvényében, két különböző $\displaystyle r$ érték esetében.

4. ábra

III. megoldás. $\displaystyle a)$ A feladat a komplex impedanciák módszerével is kezelhető. A kör eredő komplex impedanciája a soros és párhuzamos kapcsolások összefüggéseit felhasználva:

$\displaystyle Z=R+\frac{1}{(i\omega L)^{-1}+i\omega C}=R+\frac{i\omega L}{1-LC\omega^2}\,.$

A főágban folyó (komplex) áramerősség innen:

$\displaystyle I=\frac{U_0}{Z}=\frac{U_0(1-LC\omega^2)}{R(1-LC\omega^2)+i\omega L}\,.$

Az áram amplitúdója a fenti komplex kifejezés abszolút értékeként számítható:

$\displaystyle I_0=\frac{U_0\vert 1-LC\omega^2\vert}{\sqrt{R^2(1-LC\omega^2)^2+\omega^2L^2}}\,.$

$\displaystyle b)$ Az előző egyenletet vizsgálva észrevehető, hogy amennyiben $\displaystyle \omega^2LC=1$, akkor a számláló zérussá válik, míg a nevező $\displaystyle \omega L$ értékű marad. Így a teljes amplitúdó is zérus értékűvé válik, vagyis a kérdéses rezonanciafrekvencia:

$\displaystyle \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\,.$

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. januári fizika feladatai