 |
A P. 5544. feladat (2024. február) |
P. 5544. Egy különleges krumpliágyú esetében a vízszinteshez képest \(\displaystyle \alpha\) szögben kilőtt krumpli kezdősebessége \(\displaystyle v_0=(20~\text{m}/\text{s})\cdot \cos\alpha\). A lövedékre ható közegellenállási erőt hanyagoljuk el! Milyen messzire lehet lőni ezzel a krumpliágyúval vízszintes talajon?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.
Megoldás. Amint az köztudott, egy a vízszinteshez képest \(\displaystyle \alpha\) szögben \(\displaystyle v_0\) sebességgel kilőtt lövedék
\(\displaystyle s=\frac{2v_0^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\)
távolságra repül. Esetünkben \(\displaystyle v_0=u_0\cos\alpha\) (ahol \(\displaystyle u_0\)-lal jelöltük a \(\displaystyle 20\,\mathrm{m/s}\) értéket), tehát
\(\displaystyle s=\frac{2u_0^2\sin{\alpha}\cos^3{\alpha}}{g}.\)
Ennek a maximális értékét kell meghatároznunk. Erre több lehetőségünk is van. A szélsőérték helyét és értékét megkereshetjük numerikusan, deriválással, a szélsőérték helyére vonatkozó algebrai megfontolások és geometriai érvek alapján is. Itt ez utóbbi két lehetőséget mutatjuk be.
I. Legyen
\(\displaystyle y=\frac{sg}{2u_0^2}\qquad\textrm{és}\qquad\cos^2\alpha=x.\)
A fentiek alapján
\(\displaystyle x^4-x^3+y^2=0.\)
Ennek az egyenletnek két különböző valós megoldása van, ha \(\displaystyle |y|<{s_\mathrm{max}g}/{2u_0^2}\), hiszen egy \(\displaystyle s_\mathrm{max}\)-nál kisebb távolságra egy laposabb és egy meredekebb szögben is el lehet lőni, nincs valós megoldása, ha \(\displaystyle |y|>{s_\mathrm{max}g}/{2u_0^2}\), a közbülső \(\displaystyle y=y_\mathrm{m}={s_\mathrm{max}g}/{2u_0^2}\) értéknél pedig az egyetlen valós megoldás az
\(\displaystyle x^4-x^3+y_\mathrm{m}^2=0\)
egyenlet kétszeres gyöke. Ennek az egyenletnek tehát a ,,gyöktényezős" alakja (a kétszeres gyök helyét \(\displaystyle \xi\)-vel jelölve)
\(\displaystyle (x-\xi)^2(x^2-bx+c)=0,\)
ahol a második zárójel értéke a valós tengelyen sehol nem nulla, azaz \(\displaystyle 4c>b^2\). A szorzást elvégezve, és a két egyenlet együtthatóit összehasonlítva (a \(\displaystyle \xi=0\) lehetőséget elvetve) a
$$\begin{align*} 2\xi+b&=1,\\ c+\xi^2+2b\xi&=0,\\ b\xi+2c&=0,\\ \xi^2c&=y_\mathrm{m}^2 \end{align*}$$egyenletrendszert kapjuk, amelynek a megoldása
\(\displaystyle \xi=\frac{3}{4},\qquad b=-\frac{1}{2},\qquad c=\frac{3}{16}\qquad\mbox{és}\qquad y_\mathrm{m}=\frac{3\sqrt{3}}{16}.\)
A maximum \(\displaystyle \alpha=\arccos{\sqrt{\xi}}=30^{\circ}\)-nál van, és
\(\displaystyle s_\mathrm{max}=y_\mathrm{m}\frac{2u_0^2}{g}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\frac{2u_0^2}{g}=26\,\mathrm{m}.\)
Megjegyzés. Egy negyedfokú egyenlet általában nem oldható meg ilyen szép zárt alakban. Az, hogy ez most mégis lehetséges, annak köszönhető, hogy egy kettős gyököt keresünk, és az egyenletben az \(\displaystyle x\) és az \(\displaystyle x^2\) együtthatója nulla.
II. A távolság szögfüggésének vizsgálatakor térjünk át \(\displaystyle \alpha\) helyett a \(\displaystyle 2\alpha\) változóra:
\(\displaystyle s=\frac{u_0^2}{2g}\left(1+\cos2\alpha\right)\sin2\alpha.\)
Vegyük észre, hogy ez éppen az \(\displaystyle r=\sqrt{{u_0^2}/{2g}}\) sugarú körbe az a) ábra szerint berajzolt háromszög területe, ami akkor a legnagyobb, amikor a háromszög pont szabályos, azaz \(\displaystyle 2\alpha=60^\circ\). Ez könnyen belátható: egy adott körbe írt szabálytalan, vagy akár egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú háromszög területe mindig növelhető valamelyik csúcsának az alkalmas elmozdításával, ahogy azt a b) ábra mutatja.
Statisztika:
97 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Barna Márton, Beke Botond, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Bernhardt Dávid, Boér Panna Rita, Bunford Luca, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Diaconescu Tashi, Éger Viktória, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Kissebesi Máté, Klement Tamás, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Móricz Kármen, Nguyen Kim Dorka, Palásthy Bánk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Sohár Adrienn, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Szécsényi-Nagy Rudolf, Tóth Hanga Katalin, Vancsisin Márk, Varga 802 Zsolt, Vásárhelyi István Péter, Wodala Gréta Klára. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2024. februári fizika feladatai