A P. 5545. feladat (2024. február)

P. 5545. Könnyen mozgó dugattyúval elzárt hengerben \(\displaystyle 180~\text{g}\) tömegű, héliumból és hidrogénből álló gázkeverékkel állandó nyomáson \(\displaystyle 156~\text{kJ}\) hőt közlünk. Ennek hatására a gázkeverék \(\displaystyle 56~\text{kJ}\) munkát végzett. Hány g hidrogén volt a hengerben? Mekkora a gázkeverék hőmérséklet-változása?

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.

Megoldás. Állandó nyomáson végbemenő folyamat során a gáz által végzett munka \(\displaystyle W=nR\Delta T\), a közölt hő mennyisége pedig \(\displaystyle Q=\frac{f+2}{2}nR\Delta T\), ahol \(\displaystyle \Delta T\) a hőmérséklet-változást, \(\displaystyle f\) a gázkeverék szabadsági fokszámát, \(\displaystyle n\) az anyagmennyiséget jelöli. A közölt hő és a végzett munka hányadosa:

\(\displaystyle \frac{Q}{W}=\frac{f+2}{2}=\frac{156\,\mathrm{kJ}}{56\,\mathrm{kJ}}=2{,}79,\)

amelyből adódik, hogy \(\displaystyle f=3{,}57\).

Jelölje \(\displaystyle n_\mathrm{H}\) a hidrogén, \(\displaystyle n_\mathrm{He}\) a hélium anyagmennyiségét. A gázkeverék teljes tömegére felírt egyenletünk:

\(\displaystyle n_\mathrm{H}\cdot 2\,\mathrm{\frac{g}{mol}}+n_\mathrm{He}\cdot 4\,\mathrm{\frac{g}{mol}}=180\,\mathrm{g}.\)

A hidrogén kétatomos, amíg a hélium egyatomos gáz, így a gázkeverék szabadsági fokszámára az alábbi egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 5\cdot n_\mathrm{H}+3\cdot n_\mathrm{He}=3{,}57\cdot(n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He}).\)

Ennek a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszernek a megoldása: \(\displaystyle n_\mathrm{H}=15\,\mathrm{mol}\) és \(\displaystyle n_\mathrm{He}=37{,}5\,\mathrm{mol}\).

A hengerben található hidrogén tömege 30 g. A gázkeverék hőmérséklet-változása pedig:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{W}{(n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He})R}=\frac{56000\,\mathrm{J}}{52{,}5\,\mathrm{mol}\cdot 8{,}314\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}}}=128{,}3\,\mathrm{K}.\)

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barna Márton, Beke Botond, Bélteki Teó, Bunford Luca, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Éger Viktória, Éliás Kristóf , Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Hornok Máté, Kissebesi Máté, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Nguyen Kim Dorka, Simon János Dániel, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Tárnok Ede , Vágó Botond, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	Bogdán Benedek, Csernyik Péter, Hoós János, Kovács Kristóf , Pázmándi József Áron, Pituk Péter.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári fizika feladatai