A P. 5547. feladat (2024. február)

P. 5547. Egy kicsi fagolyót $\displaystyle 30~\text{cm}$ hosszú fonálra kötünk, és a fonál szabad végét egy vödör fenekén, a középponttól $\displaystyle 20~\text{cm}$ távolságban rögzítjük. A vödörbe vizet töltünk, és a szimmetriatengelye körül forgatni kezdjük. (A víz mindvégig ellepi a golyót.) Mekkora szögsebességgel kell a vödröt forgatnunk, hogy hosszú idő után a fonál a függőlegessel $\displaystyle 30^\circ$-os szöget zárjon be?

Quantum Magazine nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szövege szerint a vödör aljához rögzített fonál a függőlegessel $\displaystyle 30^\circ$-os szöget zár be, tehát megfeszül: ebből az következik, hogy a fagolyó sűrűsége kisebb a vízénél (erre következtethetünk az anyagából is). A golyóra a vízben a súlyerőn kívül a felhajtóerő is hat. A felhajtóerő nagysága a kiszorított víz súlyával egyenlő és azzal ellentétes irányú. A két erő eredője így szintén párhuzamos a súlyerővel, de mivel a felhajtóerő a nagyobb, így azzal ellentétes irányú. Ez alapján a fagolyót tartó fonál a forgás következtében a rögzítési ponton és a forgástengelyen átmenő síkban nem kifelé fog dőlni $\displaystyle 30^\circ$-kal (mintha levegőben forgatnánk), hanem befelé, így

$\displaystyle r=(20-30\sin 30^\circ)=5\,\mathrm{cm}$

távolságra lesz a forgástengelytől.

1. ábra

I. megoldás. A vödörrel együtt forgó vonatkoztatási rendszerben egy $\displaystyle m$ tömegű, a forgástengelytől $\displaystyle r$ távolságra lévő testre az $\displaystyle mg$ nehézségi erőn kívül egy $\displaystyle m\omega^2r$ nagyságú, a forgástengelyre merőleges, kifelé mutató centrifugális erő is hat. Ebben a rendszerben ennek a két erőnek az eredője a test súlya. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a (helyfüggő) nehézségi gyorsulás itt $\displaystyle \boldsymbol{g}'=\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}$.

2. ábra

A bevezető gondolatmenet szerint a golyóra ható súlyerő és felhajtóerő eredője ezzel párhuzamos, de ellentétes irányú. Ezen kívül a forgó rendszerben nyugalomban lévő fagolyóra csak a fonálerő hat, így egyensúly csak akkor lehet ha az eredő súlyerő (és így a $\displaystyle \boldsymbol{g}'$ nehézségi gyorsulás) párhuzamos a fonállal. Ez alapján

$\displaystyle \frac{\omega^2r}{g}=\tg30^\circ,$

és a keresett szögsebesség

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g\tg30^\circ}{r}}=10{,}6\,\mathrm{\frac{1}{s}}.$

II. megoldás. Inerciarendszerben a fagolyóra az $\displaystyle m\boldsymbol{g}$ nehézségi erő, a víz által kifejtett $\displaystyle \boldsymbol{F}_\mathrm{f}$ felhajtóerő és a $\displaystyle \boldsymbol{K}$ kötélerő hat, ezek eredője tartja körpályán:

Milyen erőt fejt ki a forgó víz a golyóra? Érdemes végiggondolni, mi történik a nyugvó folyadékban. Ha a golyó helyén is folyadék lenne, akkor a körülötte lévő folyadék által kifejtett nyomóerők eredőjének a test helyén lévő folyadék súlyát kellene megtartania. Ezért a folyadékba helyezett testre is ugyanez az erő hat, ebből kapjuk meg, hogy a felhajtóerő nagysága a kiszorított folyadék súlyával egyenlő, és ellentétes irányú.

A forgó folyadékban a folyadék kicsiny, $\displaystyle m_\mathrm{f}$ tömegű, a forgástengelytől $\displaystyle r$ távolságra lévő darabja $\displaystyle \omega^2r$ gyorsulással gyorsul a forgástengely felé. A kis folyadékdarab mozgásegyenlete így:

$\displaystyle m_\mathrm{f}\boldsymbol{g}+\boldsymbol{F}_\mathrm{f}=-m_\mathrm{f}\omega^2\boldsymbol{r}.$

Tehát ebben az esetben a körülötte lévő folyadéknak nem csak a folyadék $\displaystyle m_\mathrm{f}g$ súlyát kell megtartania, hanem egy $\displaystyle m_\mathrm{f}\omega^2r$ nagyságú, a forgástengely felé mutató vízszintes erőt is ki kell fejtenie. Ha a golyót ennek a kis folyadékdarabnak a helyére rakjuk, akkor arra is ugyanezzel az erővel hat a folyadék:

$\displaystyle \boldsymbol{F}_\mathrm{f}=-m_\mathrm{f}(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}).$

Ezt beírva az (1) egyenletbe:

$\displaystyle m\boldsymbol{g}-m_\mathrm{f}(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r})+\boldsymbol{K}=-m\omega^2\boldsymbol{r},$

amiből:

$\displaystyle \boldsymbol{K}=(m_\mathrm{f}-m)(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}).$

A test folyadéknál kisebb sűrűsége miatt $\displaystyle m_\mathrm{f}-m$ pozitív, tehát a $\displaystyle \boldsymbol{K}$ kötélerő (és így a kötél is) párhuzamos a $\displaystyle \boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}$ vektorral, ahogyan azt az előző megoldásban is láttuk. (A megoldás innen az előző gondolatmenettel adódik.)

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Czirják Márton Pál, Erős Fanni, Hornok Máté, Klement Tamás, Tóth Hanga Katalin, Vágó Botond.
4 pontot kapott:	Nguyen Kim Dorka.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2024. februári fizika feladatai