A P. 5550. feladat (2024. február)

P. 5550. Lézerfénnyel megvilágítjuk az $\displaystyle R$ sugarú, $\displaystyle n$ törésmutatójú gömblencsét. Merre kell irányítani az optikai tengelyen a lencse középpontjától $\displaystyle d$ távolságra lévő pontból kiinduló fénysugarat, hogy az a lencsén megtörve a lencse másik oldalán a középponttól ugyancsak $\displaystyle d$ távolságra metssze az optikai tengelyt? Adott törésmutató mellett milyen $\displaystyle d$ estén lehetséges ez a fénysugármenet? Számoljuk ki a kérdéses irány szögét a $\displaystyle {d=2R}$, $\displaystyle {n=3/2}$ adatokkal!

Közli: Cserti József, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük $\displaystyle A$-val azt a pontot, ahol a sugár a gömblencsébe belép, $\displaystyle s$-sel az $\displaystyle \overline{AP}$ szakasz hosszát, a beesési és a törési szög pedig legyen rendre $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$.

Az $\displaystyle OAP$ háromszögre felírható szinusz tétel és a töréstörvény szerint

$\displaystyle \frac{d}{s}=\frac{\sin(180^\circ -\alpha)}{\sin \beta}=n,$

azaz

$\displaystyle s=\frac{d}{n}.$

A $\displaystyle \beta$ valamint az $\displaystyle \alpha-\beta$ szögekre felírható koszinusz tételnek megfelelően

$\displaystyle s^2=R^2+d^2-2Rd\cos\beta,$

illetve

$\displaystyle R^2=s^2+d^2-2sd\cos(\alpha-\beta).$

Ezekbe $\displaystyle s$-t behelyettesítve némi átrendezés után kapjuk, hogy

$\displaystyle \cos\beta=\frac{d}{2 R}\,\left[1-\frac{1}{n^2}+{\left(\frac{R}{d}\right)}^2\right],$

és

$\displaystyle \cos\left(\alpha-\beta\right)=\frac{1}{2n}+\frac{n}{2}\,\left[1-{\left(\frac{R}{d}\right)}^2 \right].$

Az elrendezésből adódóan természetes, hogy $\displaystyle d>R$, és az egyenleteknek csak akkor értelmezhető a megoldása, ha $\displaystyle 1\geq\cos\beta\geq 0$, illetve $\displaystyle 1\geq\cos\left(\alpha-\beta\right)\geq 0$ adódik. Egyszerűen látható, ha $\displaystyle d>R$, mindkét koszinusz pozitív. A

$\displaystyle (\cos\beta=)\,\frac{d}{2 R}\,\left[1-\frac{1}{n^2}+{\left(\frac{R}{d}\right)}^2\right]\leq 1$

feltétel azonos átalakításokkal az

$\displaystyle \frac{R}{d}\geq 1-\frac{1}{n}$

egyenlőtlenségre vezet, de ugyanezt kapjuk, ha a $\displaystyle 1\geq\cos\left(\alpha-\beta\right)$ feltételből indulunk ki. Tehát a kérdésben szereplő sugármenet csak akkor lehetséges, ha

A feladatban szereplő $\displaystyle d=2R$, $\displaystyle n=3/2$ adatokkal:

Megjegyzés. A vastag lencsékről, amely kategóriába egy gömblencse is tartozik, lapunk 1967. évi 8-9. számában olvashatunk bővebben (Dr. Vermes Miklós, A vastag lencsék, Középiskolai Matematikai Lapok, 35. kötet 3-4. szám). Eszerint az (5) egyenlőtlenség jobb oldalán álló kifejezés pontosan a gömblencse $\displaystyle f=nR/2(n-1)$ fókusztávolságának a kétszerese. Fontos észrevétel, hogy egy ,,általános" $\displaystyle d<2f$ esetben a leképezési törvény szerint a $\displaystyle P$ pont képe a kétszeres fókusztávolságon kívül keletkezik. Ezzel nincs összhangban a vizsgált sugármenet. Az ellentmondás oka, hogy a leképezési törvény csak az optikai tengelyhez közel haladó sugarakat veszi figyelembe, de ez a sugár nem ilyen.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csernyik Péter, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Kátai Ferdinánd, Kis Márton Tamás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nguyen Kim Dorka.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. februári fizika feladatai