A P. 5553. feladat (2024. március)

P. 5553. Egy vékony korong az \(\displaystyle O\) középpontján átmenő, rá merőleges tengely körül állandó \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulással forog. A korongon a középpontól \(\displaystyle r\) távolságra jelöljünk ki egy \(\displaystyle P\) pontot. Hogyan függ a \(\displaystyle P\) pont gyorsulásának nagysága és a gyorsulásvektorának az \(\displaystyle OP\) egyenessel bezárt szöge az \(\displaystyle r\) távolságtól?

Nagy Béla (1881–1954) feladata nyomán

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A feladat számolás nélkül, dimenzióanalízissel is megoldható!

A kérdezett mennyiségek csak az \(\displaystyle \mathrm{1/s^2}\) dimenziójú \(\displaystyle \beta\)-tól, a méter dimenziójú \(\displaystyle r\)-től és a forgás kezdete óta eltelt, másodperc dimenziójú \(\displaystyle t\) időtől függhetnek.

A mértékegységeket összehasonlítva láthatjuk, hogy

\(\displaystyle a)\) a gyorsulás nagysága, amely \(\displaystyle \mathrm{m/s^2}\) dimenziójú, arányos kell, hogy legyen \(\displaystyle r\)-rel, mert a másik két mennyiség mértékegységében nem szerepel hosszúság;

\(\displaystyle b)\) a kérdéses \(\displaystyle \varphi\) szög dimenziótlan, így nem függhet \(\displaystyle r\)-től, csak az ugyancsak dimenziótlan \(\displaystyle \beta t^2\)-től.

A részletesebb számítás szerint

\(\displaystyle \vert\boldsymbol{a}\vert=r\beta\sqrt{1+\left(\beta t^2\right)^2}\qquad\textrm{és}\qquad\ctg\varphi=\beta t^2.\)

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beke Botond, Csapó András, Czirják Márton Pál, Fekete Lúcia, Hornok Máté, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Molnár Ábel, Molnár Kristóf, Szabó Donát, Szabó Imre Bence.
2 pontot kapott:	Csernyik Péter, Csiszár András, Erős Fanni, Földes Márton, Gerendás Roland, Hübner Júlia, Kátai Ferdinánd, Zádori Gellért.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai