A P. 5553. feladat (2024. március)

P. 5553. Egy vékony korong az $\displaystyle O$ középpontján átmenő, rá merőleges tengely körül állandó $\displaystyle \beta$ szöggyorsulással forog. A korongon a középpontól $\displaystyle r$ távolságra jelöljünk ki egy $\displaystyle P$ pontot. Hogyan függ a $\displaystyle P$ pont gyorsulásának nagysága és a gyorsulásvektorának az $\displaystyle OP$ egyenessel bezárt szöge az $\displaystyle r$ távolságtól?

Nagy Béla (1881–1954) feladata nyomán

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A feladat számolás nélkül, dimenzióanalízissel is megoldható!

A kérdezett mennyiségek csak az $\displaystyle \mathrm{1/s^2}$ dimenziójú $\displaystyle \beta$-tól, a méter dimenziójú $\displaystyle r$-től és a forgás kezdete óta eltelt, másodperc dimenziójú $\displaystyle t$ időtől függhetnek.

A mértékegységeket összehasonlítva láthatjuk, hogy

$\displaystyle a)$ a gyorsulás nagysága, amely $\displaystyle \mathrm{m/s^2}$ dimenziójú, arányos kell, hogy legyen $\displaystyle r$-rel, mert a másik két mennyiség mértékegységében nem szerepel hosszúság;

$\displaystyle b)$ a kérdéses $\displaystyle \varphi$ szög dimenziótlan, így nem függhet $\displaystyle r$-től, csak az ugyancsak dimenziótlan $\displaystyle \beta t^2$-től.

A részletesebb számítás szerint

$\displaystyle \vert\boldsymbol{a}\vert=r\beta\sqrt{1+\left(\beta t^2\right)^2}\qquad\textrm{és}\qquad\ctg\varphi=\beta t^2.$

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beke Botond, Csapó András, Czirják Márton Pál, Fekete Lúcia, Hornok Máté, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Molnár Ábel, Molnár Kristóf, Szabó Donát, Szabó Imre Bence.
2 pontot kapott:	Csernyik Péter, Csiszár András, Erős Fanni, Földes Márton, Gerendás Roland, Hübner Júlia, Kátai Ferdinánd, Zádori Gellért.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai