A P. 5554. feladat (2024. március)

P. 5554. Egy \(\displaystyle 20~\text{cm}^2\) alapterületű pohárban \(\displaystyle 120~\text{g}\), \(\displaystyle 25~^\circ\text{C}\)-os víz van. Beleteszünk egy \(\displaystyle 0~^\circ\text{C}\)-os jégkockát. Amikor a jégkocka teljesen elolvad, a víz pontosan \(\displaystyle 0~^\circ\text{C}\)-osra hűl. A pohár vízértéke \(\displaystyle 40~\text{g}\), azaz a pohár hőkapacitása annyi, mint \(\displaystyle 40~\text{g}\) vízé. Egyéb hőveszteségtől és az üveg hőtágulásától tekintsünk el, de a víz sűrűségének hőmérsékletfüggését vegyük figyelembe.

\(\displaystyle a)\) Mennyi a jégkocka tömege?

\(\displaystyle b)\) Mennyit változik a pohárban a vízszint a jégkocka olvadása közben?

Közli: Simon Péter, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A hőveszteségektől eltekintünk, így az \(\displaystyle m\) tömegű jég megolvasztásához szükséges hő megegyezik a pohár és a víz lehűlése közben felszabaduló hővel:

\(\displaystyle L_\mathrm{o}\cdot m+c_\mathrm{v}\cdot(m_\textrm{víz}+m_\textrm{pohár})\cdot\Delta T=0,\)

ahol \(\displaystyle L_\mathrm{o}\) a jég olvadáshője, \(\displaystyle c_\mathrm{v}\) a víz fajhője, \(\displaystyle m_\textrm{pohár}\) a pohár vízértéke, \(\displaystyle \Delta T=-25\,^\circ\mathrm{C}\) a hőmérséklet-változás. Innen a jég tömege:

\(\displaystyle m=-\frac{c_\mathrm{v}\cdot(m_\textrm{víz}+m_\textrm{pohár})\cdot\Delta T}{L_\mathrm{o}}=-\frac{4{,}2\mathrm{\tfrac{J}{g\cdot K}}\cdot\left(120\,\mathrm{g}+40\,\mathrm{g}\right)\cdot(-25\,K)}{334\,\mathrm{\tfrac{J}{g}}}=50{,}3\,\mathrm{g}.\)

\(\displaystyle b)\) Kezdetben a pohár vízben úszik egy jégdarab. A jégdarab pontosan a súlyával megegyező súlyú \(\displaystyle 25\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet szorít ki, így kezdetben a víz magassága:

\(\displaystyle h_0=\frac{m_\textrm{víz}+m}{\varrho_{25}\cdot A},\)

ahol \(\displaystyle A\) a pohár alapterülete, \(\displaystyle \varrho_{25}\) a \(\displaystyle 25\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz sűrűsége. Miután elolvad a jég, a víz magassága \(\displaystyle h=\frac{m_\textrm{víz}+m}{\varrho_{0}\cdot A}\), ahol \(\displaystyle \varrho_{0}\) a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz sűrűsége. A vízmagasság megváltozása:

\(\displaystyle \Delta h=h-h_0=\frac{m_\textrm{víz}+m}{A}\left(\frac{1}{\varrho_{0}}-\frac{1}{\varrho_{25}}\right)=\frac{170{,}3\,\mathrm{g}}{20\,\mathrm{cm}^2}\left(\frac{1}{0{,}9998}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g}}-\frac{1}{0{,}9970}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g}}\right)=-0{,}024\,\mathrm{cm}=-0{,}24\,\mathrm{mm}.\)

A vízszint tehát kb. 1/4 mm-rel lecsökkent. (Ha a víz sűrűségének megváltozását nem vettük volna figyelembe, akkor a vízszint magassága nem változott volna meg.)

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balogh Krisztián, Csernyik Péter, Csiszár András, Dobos Anita, Hegedüs Márk, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Simon János Dániel, Szabó Donát.
3 pontot kapott:	Beke Botond, Bélteki Teó, Dancsák Dénes, Erős Fanni, Fehérvári Donát, Földes Márton, Kissebesi Máté, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Saller Bálint , Sütő Áron, Szécsényi-Nagy Rudolf, Zólomy Csanád Zsolt.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai