A P. 5555. feladat (2024. március)

P. 5555. Vízszintes, nem teljesen sima asztallapon nyugszik egy $\displaystyle r$ sugarú korong. A síkon egy nagyobb, $\displaystyle R=2r$ sugarú korong forgásmentesen csúszik úgy, hogy a középpontja a kis korong érintője mentén mozog. Mindkét korong ugyanabból az anyagból készült és a magasságuk is ugyanakkora.

A rugalmasnak tekinthető ütközés után a nagy korong a súrlódás miatt lelassul és $\displaystyle d=5~\text{cm}$ út megtétele után megáll. Milyen irányban és milyen messzire jut el a kis korong az asztalon? A korongok közötti súrlódás elhanyagolható.

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ütközés nagyon rövid ideje alatt a külső erők (az asztallap és a korongok közötti súrlódás) hatása figyelmen kívül hagyható, vagyis a két korongból álló rendszer zártnak tekinthető. Az ütközés során a teljes mozgásmennyiség (impulzus) vektora állandó marad. Az ütközés rugalmas, így a korongok összes mozgási energiája sem változik meg. A korongok közötti súrlódás elhanyagolható, emiatt a korongok nem jöhetnek forgásba, vagyis a mozgási energia tisztán a transzlációs mozgásból származik.

Jelöljük a nagyobb korong ütközés előtti sebességvektorát $\displaystyle \boldsymbol{v}_0$-lal. Ha a kis korong tömege $\displaystyle m$, akkor a megadott feltételek miatt a nagyobb korong tömege nyilván $\displaystyle 4m$ lesz. Az ütközés pillanatában (lásd az 1. ábrát) a korongok $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ középpontjára illeszkedő egyenesnek a nagyobb korong kezdeti mozgásirányával bezárt szöge:

1. ábra

Az ütközés során a két korong között egy nagyon rövid ideig tartó, nagyon nagy $\displaystyle \boldsymbol{F}(t)$ erő lép fel, ami a kezdetben álló kis korongot $\displaystyle P\rightarrow Q$ irányba valamekkora $\displaystyle \boldsymbol{u}$ sebességgel meglöki. Eközben a nagy korong sebessége $\displaystyle \boldsymbol{v}$-re változik (2. ábra). A kis korong az ütközés előtt állt, így $\displaystyle \boldsymbol{u}$ iránya nyilván megegyezik $\displaystyle \boldsymbol{F}$ irányával.

2. ábra

Az ábrán látható koordináta-rendszerben az impulzusmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle 4mv_0=4mv_x+mu\cos\varphi,$

$\displaystyle 0=4mv_y-mu\sin\varphi,$

vagyis

Az energiamegmaradás törvényét alkalmazva felírhatjuk, hogy

(2)-t és (3)-t (4)-be helyettesítve az $\displaystyle u$ sebességnagyságra egy hiányos másodfokú egyenletet kapunk, aminek az egyik (számunkra érdektelen) megoldása $\displaystyle u=0$, a másik gyöke pedig

(2), (3) és (5) felhasználásával a korongok sebességkomponensei:

$\displaystyle u_x=u\cos\varphi=1{,}42\,v_0,$

$\displaystyle u_y=-u\sin\varphi=-0{,}50\,v_0,$

$\displaystyle v_x=0{,}64\,v_0,$

$\displaystyle v_y=0{,}13\,v_0.$

Az ütközés után a nagy korong sebességnagyságának négyzete:

$\displaystyle v^2=v_x^2+v_y^2=0{,}43\,v_0^2,$

a kis korongé pedig

$\displaystyle u^2=u_x^2+u_y^2=2{,}28\,v_0^2.$

Az asztallapon csúszó korongok az asztallal való súrlódásuk miatt ugyanolyan ütemben egyenletesen lassulva mozognak, a megállásukig megtett útjuk a kezdősebességük négyzetével arányos. Ennek megfelelően a kisebb korong

$\displaystyle d=\frac{u^2}{v^2}\cdot \text{5 cm}=26{,}5\,\mathrm{cm}$

út megtétele után áll meg.

A nagy korong az eredeti mozgásirányához képes

$\displaystyle \alpha=\arctg\frac{v_y}{v_x}=11{,}1^\circ$

szögben ,,balra'' térül el, a kis korong elmozdulásának iránya pedig ,,jobbra''

$\displaystyle \beta=\arctg\frac{\vert u_y\vert}{u_x}=\varphi=19{,}5^\circ$

a nagyobb korong kezdeti mozgásirányához viszonyítva.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bélteki Teó, Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Szabó Donát, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt.
3 pontot kapott:	Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Magyar Zsófia, Sütő Áron, Vágó Botond.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai