 |
A P. 5555. feladat (2024. március) |
P. 5555. Vízszintes, nem teljesen sima asztallapon nyugszik egy \(\displaystyle r\) sugarú korong. A síkon egy nagyobb, \(\displaystyle R=2r\) sugarú korong forgásmentesen csúszik úgy, hogy a középpontja a kis korong érintője mentén mozog. Mindkét korong ugyanabból az anyagból készült és a magasságuk is ugyanakkora.
A rugalmasnak tekinthető ütközés után a nagy korong a súrlódás miatt lelassul és \(\displaystyle d=5~\text{cm}\) út megtétele után megáll. Milyen irányban és milyen messzire jut el a kis korong az asztalon? A korongok közötti súrlódás elhanyagolható.
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ütközés nagyon rövid ideje alatt a külső erők (az asztallap és a korongok közötti súrlódás) hatása figyelmen kívül hagyható, vagyis a két korongból álló rendszer zártnak tekinthető. Az ütközés során a teljes mozgásmennyiség (impulzus) vektora állandó marad. Az ütközés rugalmas, így a korongok összes mozgási energiája sem változik meg. A korongok közötti súrlódás elhanyagolható, emiatt a korongok nem jöhetnek forgásba, vagyis a mozgási energia tisztán a transzlációs mozgásból származik.
Jelöljük a nagyobb korong ütközés előtti sebességvektorát \(\displaystyle \boldsymbol{v}_0\)-lal. Ha a kis korong tömege \(\displaystyle m\), akkor a megadott feltételek miatt a nagyobb korong tömege nyilván \(\displaystyle 4m\) lesz. Az ütközés pillanatában (lásd az 1. ábrát) a korongok \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) középpontjára illeszkedő egyenesnek a nagyobb korong kezdeti mozgásirányával bezárt szöge:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \varphi=\arcsin\frac{r}{R+r}=\arcsin\frac{1}{3}=19{,}5^\circ.\) |
1. ábra
Az ütközés során a két korong között egy nagyon rövid ideig tartó, nagyon nagy \(\displaystyle \boldsymbol{F}(t)\) erő lép fel, ami a kezdetben álló kis korongot \(\displaystyle P\rightarrow Q\) irányba valamekkora \(\displaystyle \boldsymbol{u}\) sebességgel meglöki. Eközben a nagy korong sebessége \(\displaystyle \boldsymbol{v}\)-re változik (2. ábra). A kis korong az ütközés előtt állt, így \(\displaystyle \boldsymbol{u}\) iránya nyilván megegyezik \(\displaystyle \boldsymbol{F}\) irányával.
2. ábra
Az ábrán látható koordináta-rendszerben az impulzusmegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle 4mv_0=4mv_x+mu\cos\varphi,\)
\(\displaystyle 0=4mv_y-mu\sin\varphi,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v_x=v_0-\frac{u\cos\varphi}{4},\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_y=-\frac{u\sin\varphi}{4}.\) |
Az energiamegmaradás törvényét alkalmazva felírhatjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}(4m)v_0^2=\frac{1}{2}(4m)\left(v_x^2+v_y^2\right)+\frac{1}{2}mu^2.\) |
(2)-t és (3)-t (4)-be helyettesítve az \(\displaystyle u\) sebességnagyságra egy hiányos másodfokú egyenletet kapunk, aminek az egyik (számunkra érdektelen) megoldása \(\displaystyle u=0\), a másik gyöke pedig
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle u=\frac{8}{5}v_0\cos\varphi=1{,}51\,v_0.\) |
(2), (3) és (5) felhasználásával a korongok sebességkomponensei:
\(\displaystyle u_x=u\cos\varphi=1{,}42\,v_0,\)
\(\displaystyle u_y=-u\sin\varphi=-0{,}50\,v_0,\)
\(\displaystyle v_x=0{,}64\,v_0,\)
\(\displaystyle v_y=0{,}13\,v_0.\)
Az ütközés után a nagy korong sebességnagyságának négyzete:
\(\displaystyle v^2=v_x^2+v_y^2=0{,}43\,v_0^2,\)
a kis korongé pedig
\(\displaystyle u^2=u_x^2+u_y^2=2{,}28\,v_0^2.\)
Az asztallapon csúszó korongok az asztallal való súrlódásuk miatt ugyanolyan ütemben egyenletesen lassulva mozognak, a megállásukig megtett útjuk a kezdősebességük négyzetével arányos. Ennek megfelelően a kisebb korong
\(\displaystyle d=\frac{u^2}{v^2}\cdot \text{5 cm}=26{,}5\,\mathrm{cm}\)
út megtétele után áll meg.
A nagy korong az eredeti mozgásirányához képes
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{v_y}{v_x}=11{,}1^\circ\)
szögben ,,balra'' térül el, a kis korong elmozdulásának iránya pedig ,,jobbra''
\(\displaystyle \beta=\arctg\frac{\vert u_y\vert}{u_x}=\varphi=19{,}5^\circ\)
a nagyobb korong kezdeti mozgásirányához viszonyítva.
Statisztika:
30 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bélteki Teó, Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Szabó Donát, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 pontot kapott: Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Magyar Zsófia, Sütő Áron, Vágó Botond. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai