A P. 5556. feladat (2024. március)

P. 5556. Egy távoli kettőscsillag egyik bolygóján értelmes lények élnek. A csillagászaik megállapították, hogy a két csillag távolsága időben állandó, ezt a távolságot választották ,,csillagászati egységnek'' (CsE). Az űrkutatóik egy érzékeny űrtávcsövet juttattak el a kettős rendszer $\displaystyle \text{L}_2$ Lagrange-pontjába, amely a kisebb tömegű csillagtól $\displaystyle \tfrac{1}{2}~\text{CsE}$ távolságra, a másik csillaggal ellentétes oldalon helyezkedik el. Mekkora a két csillag tömegének aránya?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a nagyobb csillag tömege $\displaystyle M$, a kisebbé $\displaystyle m$ és a közöttük lévő távolság $\displaystyle R$, a keringési szögsebességük pedig $\displaystyle \omega$. A két csillag tömegközéppontja a kisebb tömegű csillagtól $\displaystyle \frac{M}{M+m}R$, a nagyobbtól $\displaystyle \frac{m}{M+m}R$ távolságra van.

Newton II. törvénye és a gravitáció törvénye szerint mindkét csillag körmozgásának egyenlete:

$\displaystyle \gamma\frac{mM}{R^2}=\frac{mM}{M+m}R\omega^2,$

vagyis

$\displaystyle \omega^2=\gamma\frac{m+M}{R^3}.$

Az L$\displaystyle _2$ pontba eljuttatott $\displaystyle m_0$ tömegű űrtávcső ugyancsak $\displaystyle \omega$ szögsebességgel mozog a csillagok tömegközéppontja körül, így a mozgásegyenlete:

$\displaystyle \gamma\frac{mm_0}{(R/2)^2}+\gamma\frac{Mm_0}{(3R/2)^2}=m_0\left(\frac{1}{2}+\frac{M}{M+m}\right)R\omega^2.$

Behelyettesítve $\displaystyle \omega^2$ kiszámított értékét kapjuk, hogy

$\displaystyle 4m+\frac{4}{9}M=\left(\frac{1}{2}+\frac{M}{M+m}\right)(M+m),$

ahonnan a keresett tömegarány:

$\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{63}{19}\approx 3{,}32.$

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna Márton, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Csapó András, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Gerendás Roland, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk, Zólomy Csanád Zsolt.
4 pontot kapott:	Klement Tamás, Vágó Botond.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai