A P. 5557. feladat (2024. március)

P. 5557. Egy $\displaystyle R$ sugarú, vékony falú, rögzített cső belsejében, annak legmélyebb pontjának közelében csúszásmentesen ide-oda gurul egy $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle r$ sugarú, homogén tömegeloszlású henger. Mekkora a mozgás periódusideje?

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Jellemezzük a henger (görgő) helyzetét a tengely oldalirányú kitérésének $\displaystyle \phi$, és a tengely körüli elfordulás $\displaystyle \varphi$ szögével!

A kettő nem független, tiszta gördülés esetén (az ábrán a két zöld körív hossza megegyezik)

$\displaystyle R\phi=r(\varphi+\phi),\qquad\textrm{azaz}\qquad\varphi=\frac{R-r}{r}\phi.$

Analóg összefüggés igaz a megfelelő szögsebességekre, illetve a nekünk fontos $\displaystyle \beta_{\varphi}$ és $\displaystyle \beta_{\phi}$ szöggyorsulásokra is:

$\displaystyle \beta_{\varphi}=\frac{R-r}{r}\beta_{\phi}.$

Adott $\displaystyle \phi$ mellett a henger tengelye a cső legmélyebb pontjához képest

$\displaystyle y=r+(R-r)(1-\cos \phi)$

magasságban van, és az alaphelyzettől

$\displaystyle x=(R-r)\sin{\phi}$

vízszintes távolságra tér ki oldalra.

Jelölje $\displaystyle N$ a görgő és a cső fala közötti nyomó, $\displaystyle S$ pedig a súrlódási erőt! Ha $\displaystyle a_y$ és $\displaystyle a_x$ a tömegközéppont függőleges illetve vízszintes gyorsulása, akkor a mozgás dinamikáját leíró egyenletek

ahol $\displaystyle \theta$ a görgőnek a szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.

Kis kitérések esetén, amikor jó közelítés, hogy $\displaystyle \sin\phi\cong \phi$ és $\displaystyle \cos{\phi} \cong 1$, $\displaystyle y=r$-nek, így $\displaystyle a_y=0$-nak vehető, a vízszintes gyorsulás pedig (mivel $\displaystyle x\cong (R-r){\phi}$) az

$\displaystyle a_x=(R-r)\beta_{\phi}$

kifejezéssel közelíthető. Végső soron a mozgásegyenletek az

egyenletekre redukálódnak. Ezekből a $\displaystyle \beta$-kra vonatkozó kényszer mellett az $\displaystyle N$ és az $\displaystyle S$ kiküszöbölése és $\displaystyle \phi^2\ll 1$ felhasználása után a

$\displaystyle \beta_{\phi}=-\frac{g}{(1+\theta/mr^2)(R-r)}\phi$

összefüggés adódik. Ebből leolvasható, hogy a rezgés körfrekvenciája

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{(1+\theta/mr^2)(R-r)}},$

tehát a periódusideje

$\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\left(1+\frac{\theta}{mr^2}\right)\frac{R-r}{g}}.$

Homogén tömör görgő esetén $\displaystyle \theta=mr^2/2$, így

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{3}{2}\frac{R-r}{g}}.$

Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a ,,kis kitérés'' követelménye csak a $\displaystyle \phi$-re vonatkozik (ennek a szögfüggvényei esetében éltünk közelítéssel), de kicsi $\displaystyle \phi$-hez tartozhat akár nagy $\displaystyle \varphi$ is (ha $\displaystyle R\gg r$).

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit és a tapadásból következő

$\displaystyle \beta_\varphi=\frac{R-r}{r}\beta_\phi$

összefüggést. Írjuk fel a gördülő hengerre a forgómozgás alapegyenletét a pillanatnyi forgástengelyre (a két henger $\displaystyle C$ érintkezési pontjára) vonatkoztatva! Ezt általában nem lehet megtenni, de most megtehetjük, mert ugyan ennek a pontnak van gyorsulása, de a gyorsulásvektor merőleges a felületre, és így átmegy a test tömegközéppontján (lásd Szvetnik Endre ,,Forgási egyenlet tetszőleges tengelyre'' c. cikkét a KöMaL 1993. májusi számában http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=199387). Erre a pontra vonatkoztatva csak a nehézségi erőnek van forgatónyomatéka:

$\displaystyle \theta_C\beta_\varphi=-mgr\sin\phi,$

ahol $\displaystyle \theta_C=\theta+mr^2$ ($\displaystyle \theta$ az előző megoldással egyezően a hengernek a szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka). Ezt behelyettesítve, felhasználva a szöggyorsulások közötti összefüggést, valamint a kis $\displaystyle \phi$ esetén érvényes $\displaystyle \sin\phi\cong\phi$ közelítést:

amelyből az előző megoldással egyező módon következik a rezgés körfrekvenciája és periódusideje.

III. megoldás. Számítsuk ki – az I. megoldás jelöléseit használva – a görgő gravitációs helyzeti energiáját és a mozgási energiáját az ábrán látható helyzetben.

A helyzeti energia (annak nullpontját a henger legmélyebb helyzetéhez választva):

$\displaystyle E_\mathrm{h}=mg(R-r)(1-\cos\phi).$

Kis kitéréseknél $\displaystyle \cos\phi=1-2\sin^2(\phi/2)\approx 1-\frac{\phi^2}{2}$, így

$\displaystyle E_\mathrm{h}=mg(R-r)\frac{\phi^2}{2}.$

Ez az energia éppen olyan, mint egy

$\displaystyle D=mg(R-r)$

rugóállandójú rugó rugalmas energiája $\displaystyle \phi$ megnyújtás esetén.

Amikor a $\displaystyle \phi$ szög változási sebessége $\displaystyle \omega_\phi$, akkor a tapadási kényszerfeltétel miatt a görgő szögsebessége

$\displaystyle \omega_\varphi=\frac{R-r}{r}\omega_\phi,$

és így a mozgási energiája a tömegközéppont mozgásához tartozó energia és a forgási energia összege, vagyis (kis kitérések esetén)

$\displaystyle E_\mathrm{m}=\frac{1}{2}m(R-r)^2\omega_\phi^2+\frac{1}{2}\,\frac{mr^2}2\omega_\varphi^2=\frac{3}{4}m(R-r)^2\omega_\phi^2.$

Ez a kifejezés ugyanolyan, mint egy

$\displaystyle M=\frac{3}{2}m(R-r)^2$

tömegű, $\displaystyle v=\omega_\phi$ sebességgel mozgó pontszerű test mozgási energiája.

A görgő mozgásának periódusideje a rugó végén mozgó tömegponttal való hasonlóság miatt

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{M}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{3}{2}\frac{R-r}{g}}.$

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Erős Fanni, Hegedüs Márk, Masa Barnabás, Szabó Donát, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Csapó András, Kiss 131 Adorján Timon, Sütő Áron.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai