 |
A P. 5557. feladat (2024. március) |
P. 5557. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, vékony falú, rögzített cső belsejében, annak legmélyebb pontjának közelében csúszásmentesen ide-oda gurul egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle r\) sugarú, homogén tömegeloszlású henger. Mekkora a mozgás periódusideje?
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.
I. megoldás. Jellemezzük a henger (görgő) helyzetét a tengely oldalirányú kitérésének \(\displaystyle \phi\), és a tengely körüli elfordulás \(\displaystyle \varphi\) szögével!
A kettő nem független, tiszta gördülés esetén (az ábrán a két zöld körív hossza megegyezik)
\(\displaystyle R\phi=r(\varphi+\phi),\qquad\textrm{azaz}\qquad\varphi=\frac{R-r}{r}\phi.\)
Analóg összefüggés igaz a megfelelő szögsebességekre, illetve a nekünk fontos \(\displaystyle \beta_{\varphi}\) és \(\displaystyle \beta_{\phi}\) szöggyorsulásokra is:
\(\displaystyle \beta_{\varphi}=\frac{R-r}{r}\beta_{\phi}.\)
Adott \(\displaystyle \phi\) mellett a henger tengelye a cső legmélyebb pontjához képest
\(\displaystyle y=r+(R-r)(1-\cos \phi)\)
magasságban van, és az alaphelyzettől
\(\displaystyle x=(R-r)\sin{\phi}\)
vízszintes távolságra tér ki oldalra.
Jelölje \(\displaystyle N\) a görgő és a cső fala közötti nyomó, \(\displaystyle S\) pedig a súrlódási erőt! Ha \(\displaystyle a_y\) és \(\displaystyle a_x\) a tömegközéppont függőleges illetve vízszintes gyorsulása, akkor a mozgás dinamikáját leíró egyenletek
$$\begin{align*} ma_y &=N\cos{\phi}+S\sin{\phi}-mg,\\ ma_x &=-N\sin{\phi}+S\cos{\phi},\\ \theta\beta_{\varphi} &=-rS, \end{align*}$$ahol \(\displaystyle \theta\) a görgőnek a szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.
Kis kitérések esetén, amikor jó közelítés, hogy \(\displaystyle \sin\phi\cong \phi\) és \(\displaystyle \cos{\phi} \cong 1\), \(\displaystyle y=r\)-nek, így \(\displaystyle a_y=0\)-nak vehető, a vízszintes gyorsulás pedig (mivel \(\displaystyle x\cong (R-r){\phi}\)) az
\(\displaystyle a_x=(R-r)\beta_{\phi}\)
kifejezéssel közelíthető. Végső soron a mozgásegyenletek az
$$\begin{align*} N &=mg-S\phi,\\ m(R-r)\beta_{\phi} &=-N{\phi}+S,\\ \theta\beta_{\varphi} &=-rS \end{align*}$$egyenletekre redukálódnak. Ezekből a \(\displaystyle \beta\)-kra vonatkozó kényszer mellett az \(\displaystyle N\) és az \(\displaystyle S\) kiküszöbölése és \(\displaystyle \phi^2\ll 1\) felhasználása után a
\(\displaystyle \beta_{\phi}=-\frac{g}{(1+\theta/mr^2)(R-r)}\phi\)
összefüggés adódik. Ebből leolvasható, hogy a rezgés körfrekvenciája
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{(1+\theta/mr^2)(R-r)}},\)
tehát a periódusideje
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\left(1+\frac{\theta}{mr^2}\right)\frac{R-r}{g}}.\)
Homogén tömör görgő esetén \(\displaystyle \theta=mr^2/2\), így
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{3}{2}\frac{R-r}{g}}.\)
Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a ,,kis kitérés'' követelménye csak a \(\displaystyle \phi\)-re vonatkozik (ennek a szögfüggvényei esetében éltünk közelítéssel), de kicsi \(\displaystyle \phi\)-hez tartozhat akár nagy \(\displaystyle \varphi\) is (ha \(\displaystyle R\gg r\)).
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit és a tapadásból következő
\(\displaystyle \beta_\varphi=\frac{R-r}{r}\beta_\phi\)
összefüggést. Írjuk fel a gördülő hengerre a forgómozgás alapegyenletét a pillanatnyi forgástengelyre (a két henger \(\displaystyle C\) érintkezési pontjára) vonatkoztatva! Ezt általában nem lehet megtenni, de most megtehetjük, mert ugyan ennek a pontnak van gyorsulása, de a gyorsulásvektor merőleges a felületre, és így átmegy a test tömegközéppontján (lásd Szvetnik Endre ,,Forgási egyenlet tetszőleges tengelyre'' c. cikkét a KöMaL 1993. májusi számában http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=199387). Erre a pontra vonatkoztatva csak a nehézségi erőnek van forgatónyomatéka:
\(\displaystyle \theta_C\beta_\varphi=-mgr\sin\phi,\)
ahol \(\displaystyle \theta_C=\theta+mr^2\) (\(\displaystyle \theta\) az előző megoldással egyezően a hengernek a szimmetriatengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka). Ezt behelyettesítve, felhasználva a szöggyorsulások közötti összefüggést, valamint a kis \(\displaystyle \phi\) esetén érvényes \(\displaystyle \sin\phi\cong\phi\) közelítést:
$$\begin{align*} (\theta+mr^2)\frac{R-r}{r}\beta_\phi &=-mgr\phi,\\ \beta_\phi &=-\frac{g}{(1+\frac{\theta}{mr^2})(R-r)}\phi, \end{align*}$$amelyből az előző megoldással egyező módon következik a rezgés körfrekvenciája és periódusideje.
III. megoldás. Számítsuk ki – az I. megoldás jelöléseit használva – a görgő gravitációs helyzeti energiáját és a mozgási energiáját az ábrán látható helyzetben.
A helyzeti energia (annak nullpontját a henger legmélyebb helyzetéhez választva):
\(\displaystyle E_\mathrm{h}=mg(R-r)(1-\cos\phi).\)
Kis kitéréseknél \(\displaystyle \cos\phi=1-2\sin^2(\phi/2)\approx 1-\frac{\phi^2}{2}\), így
\(\displaystyle E_\mathrm{h}=mg(R-r)\frac{\phi^2}{2}.\)
Ez az energia éppen olyan, mint egy
\(\displaystyle D=mg(R-r)\)
rugóállandójú rugó rugalmas energiája \(\displaystyle \phi\) megnyújtás esetén.
Amikor a \(\displaystyle \phi\) szög változási sebessége \(\displaystyle \omega_\phi\), akkor a tapadási kényszerfeltétel miatt a görgő szögsebessége
\(\displaystyle \omega_\varphi=\frac{R-r}{r}\omega_\phi,\)
és így a mozgási energiája a tömegközéppont mozgásához tartozó energia és a forgási energia összege, vagyis (kis kitérések esetén)
\(\displaystyle E_\mathrm{m}=\frac{1}{2}m(R-r)^2\omega_\phi^2+\frac{1}{2}\,\frac{mr^2}2\omega_\varphi^2=\frac{3}{4}m(R-r)^2\omega_\phi^2.\)
Ez a kifejezés ugyanolyan, mint egy
\(\displaystyle M=\frac{3}{2}m(R-r)^2\)
tömegű, \(\displaystyle v=\omega_\phi\) sebességgel mozgó pontszerű test mozgási energiája.
A görgő mozgásának periódusideje a rugó végén mozgó tömegponttal való hasonlóság miatt
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{M}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{3}{2}\frac{R-r}{g}}.\)
Statisztika:
38 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Erős Fanni, Hegedüs Márk, Masa Barnabás, Szabó Donát, Žigo Boglárka. 4 pontot kapott: Csapó András, Kiss 131 Adorján Timon, Sütő Áron. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai