A P. 5559. feladat (2024. március)

P. 5559. Kis nyílásszögű, $\displaystyle R$ sugarú homorú és domború gömbtükröket az ábrán látható módon helyezünk el egymástól $\displaystyle 1{,}25 R$ távolságra.

A közös optikai tengely mely $\displaystyle T$ pontjába helyezzünk egy pontszerű fényforrást, hogy a belőle induló fénysugarak a két tükörről való visszaverődés után a $\displaystyle T$ ponton menjenek át?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyszerű gömbtükrök fókusztávolsága $\displaystyle f=\pm R/2$, így az adott elrendezésben a két eszköz távolsága éppen $\displaystyle D=2{,}5f$. Legyen a $\displaystyle T$ pont távolsága a homorú tükörtől $\displaystyle t$! A $\displaystyle T$ pontról a homorú tükörtől

$\displaystyle k=\frac{tf}{t-f}$

távolságra keletkezne kép, de ez csak a domború tükör mögött lehetne (másképp a domború tükrön való visszaverődés után nem találkozhatnának a fénysugarak). Ez a kép tehát virtuális tárgyat jelent a domború tükör számára, amely a tükör mögött $\displaystyle t_v=k-D$ távolságra van. Erről a domború tükör előtt $\displaystyle D-t$ távolságra keletkezik egy valódi kép, tehát

$\displaystyle -\frac{1}{f}=\frac{1}{D-t}-\frac{1}{k-D}.$

A két egyenletből $\displaystyle k$ kiküszöbölésével a

$\displaystyle t^2-t(2f+D)+f(2f+D)=0$

másodfokú egyenletet kapjuk, aminek a gyökei

$\displaystyle t=\frac{(2f+D)\pm\sqrt{D^2-(2f)^2}}{2}.$

Ezek közül a negatív előjelet tartalmazó kisebb, míg a másik nagyobb mint $\displaystyle D$, tehát a keresett érték

$\displaystyle t=\frac{(2f+D)-\sqrt{D^2-(2f)^2}}{2}=\frac{3}{2}f=\frac{3}{4}R.$

Megjegyzések. 1. A fenti leírás a $\displaystyle T$ pontból a homorú tükör felé induló kicsiny nyílásszögű sugárnyalábot követte, de nyilván ugyanezt kapjuk, ha a domború tükör felé induló sugarakat nézzük: azok ugyanezt az utat futják be, csak ellenkező irányban.

2. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján a másodfokú egyenlet két gyökére igaz, hogy

$\displaystyle t_1+t_2=2f+D\qquad\textrm{és}\qquad t_1\cdot t_2=f(2f+D).$

A két egyenletet elosztva egymással azt találjuk, hogy

$\displaystyle \frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{f}.$

Ha tehát mondjuk $\displaystyle t_1=t$, akkor $\displaystyle t_2=k$.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Szabó Donát, Tóthpál-Demeter Márk, Žigo Boglárka.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai