A P. 5560. feladat (2024. március)

P. 5560. Egy ismeretlen bolygón működő $\displaystyle 500~\text{kHz}$-es középhullámú rádióállomás $\displaystyle 314~\text{Hz}$ frekvenciájú búgást sugároz AM modulációval. (Ez a frekvencia nyugtató hatással van a bolygón lakó intelligens életformára.) Érzékeny rádióval egy, a bolygótól a fénysebesség 80%-ával távolodó űrhajóban éppen ezt az adást fogják.

$\displaystyle a)$ Milyen frekvenciára állítsák a rádió vevőjét?

$\displaystyle b)$ Milyen frekvenciájúnak hallják a búgást az űrhajósok?

Közli: Rakovszky Andorás, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során az alábbi jelölést használjuk: a bolygón élők vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket $\displaystyle b$ indexszel látjuk el. A $\displaystyle v$ sebességgel haladó űrhajón lévő asztronauták vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket pedig $\displaystyle a$ indexszel jelöljük.

Tekintsünk egy $\displaystyle T_b$ periódusidejű elektromágneses hullámot, melynek periódusidejét az űrhajón $\displaystyle T_a$-nak mérik. Célunk kapcsolatot teremteni ezen két mennyiség között. Vizsgáljuk azt a két eseményt, amikor az űrhajón észlelik az elektromágneses hullám két egymás utáni amplitúdó maximumát. Ezen két esemény távolságkülönbsége nulla, időkülönbsége pedig $\displaystyle T_a$ az űrhajó vonatkoztatási rendszerében. Ugyanezen két esemény időkülönbsége $\displaystyle t_b$, a távolságkülönbsége pedig $\displaystyle vt_b$ a bolygó vonatkoztatási rendszerében.

A relativitáselméletben két esemény közti $\displaystyle \Delta t$ időkülönbségből és $\displaystyle \Delta x$ távolságkülönbségből képzett $\displaystyle c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2$ mennyiség invariáns, azaz értéke nem függ a vonatkoztatási rendszer választásától. Az invariánst felhasználva:

$\displaystyle c^2T_a^2=c^2t_b^2-v^2t_b^2.$

A bolygóról nézve az elektromágneses hullám $\displaystyle (c-v)$ relatív sebességgel halad az űrhajó irányába. A két szomszédos amplitúdómaximum közti távolság (azaz a hullámhossz) $\displaystyle cT_b$, melyet ezzel a relatív sebességgel $\displaystyle t_b=\frac{cT_b}{c-v}$ idő alatt tesz meg a hullám. Helyettesítsük be ezt a kifejezést az invariánsból kapott összefüggésbe:

$\displaystyle T_a=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}T_b.$

Az egyenlet reciprokát képezve a frekvenciák közti kapcsolatot tudjuk felírni:

$\displaystyle f_a=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}f_b.$

Ezzel levezettük az ún. relativisztikus Doppler-képletet, melyet nyomtatott vagy online forrásokban is könnyen megtalálhatunk (pl. Budó: Kísérleti fizika III. kötet, 310. old.). A kifejezésben $\displaystyle v$ az elektromágneses forrás és a megfigyelő relatív sebessége (ez független a koordináta-rendszer választásától). Ha a forrás és a megfigyelő távolodik egymástól, akkor $\displaystyle v$ pozitív, közeledés esetén pedig $\displaystyle v$ negatív értékű.

Ugyanazt a relativisztikus Doppler-képletet használhatjuk a feladatban szereplő rádióhullám vivőfrekvenciájára illetve modulációs frekvenciájára is. Így az űrhajósoknak a rádió vevőjét $\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}500\,\mathrm{kHz}=167 \,\mathrm{kHz}$-es frekvenciára kell állítaniuk. A búgást pedig $\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}314\,\mathrm{Hz}=105 \,\mathrm{Hz}$ frekvenciájúnak hallják.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Czirják Márton Pál, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Zámbó Luca.
4 pontot kapott:	Csapó András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Klement Tamás, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai